정사각형 안에서 직사각형 찾기
이 격자에서 빨간색으로 표시된 부분은 1x1 직사각형(정사각형), 2x1 직사각형, 그리고 1x3 직사각형입니다.
도전 과제
이 4x4 격자 안에 만들 수 있는 모든 직사각형의 개수를 세어 보세요.
탐사
2x2 격자와 3x3 격자에 있는 직사각형의 개수를 계산하세요. 이 값들을 4x4 격자에 대한 값과 비교해 보세요. 어떤 규칙성이 보이는지, 그리고 그 규칙을 설명할 수 있는지 생각해 보세요.
노트
도전과 탐험
꼼꼼한 학생이라면 36개의 직사각형을 찾을 수 있을 것입니다. 핵심은 체계적인 접근 방식입니다. 각 유형의 직사각형 개수는 다음과 같습니다.
- 1 x 1 – 9
- 1 x 2 – 6
- 1 x 3 – 3
- 2 x 1 – 6
- 2 x 2 – 4
- 2 x 3 – 2
- 3 x 1 – 3
- 3 x 2 – 2
- 3 x 3 – 1
이들을 모두 더하면 9 + 6 + 3 + 6 + 4 + 2 + 3 + 2 + 1 = 36개의 직사각형이 됩니다. n x n 격자의 경우 직사각형의 개수는 다음과 같습니다.
- 2 x 2 – 1 = 12
- 3 x 3 – 9 = 32
- 4 x 4 – 36 = 62
- 5 x 5 – 100 = 102
- 6 x 6 – 225 = 152
모두 정사각형입니다. 1, 3, 6, 10, 15는 무엇일까요? 이 숫자들은 삼각수이며, n개의 것 중에서 두 개를 선택하는 경우의 수이기도 합니다.
이것이 어떻게 작동하는지 이해하려면 정사각형 안에 직사각형이 어떻게 결정되는지 생각해 보세요. 이 그림에서 보는 것처럼 모든 직사각형은 두 개의 세로 변과 두 개의 가로 변을 선택함으로써 결정됩니다. 그리고 변의 위치를 어떻게 선택하든 각기 다른 하나의 직사각형이 결정됩니다.
따라서 직사각형의 개수는 이러한 선택을 하는 방법의 수와 같습니다. 4x4 격자에서는 선택할 수 있는 세로줄이 4개, 가로줄이 4개 있습니다. 4개 중에서 2개를 선택하는 방법의 수는 6가지입니다. 따라서 직사각형의 개수는 6 x 6 = 36개입니다.
다른 크기의 정사각형 격자에도 동일한 논리가 적용됩니다.
