Stuiterende biljartbal
DE UITDAGING
Een biljartbal die onder een hoek van 45 graden vanuit de linkerbenedenhoek van een 3x4 biljarttafel wordt geschoten, stuitert 5 keer voordat hij de rechterbenedenhoek van de tafel raakt. Als je begint in de linkerbenedenhoek van een 4x7 biljarttafel, hoe vaak stuitert de bal dan voordat hij een van de hoeken raakt?
EXPLORATION
Kun je bij andere tafelformaten voorspellen welke hoek als eerste geraakt wordt en hoeveel keer de bal zal stuiteren? Kun je geometrische concepten gebruiken om het probleem te vereenvoudigen?
Notes
DE UITDAGING & VERKENNING
Dit kan op een leuke en speelse manier worden gedaan door bijvoorbeeld een stuk ruitjespapier te gebruiken en te kijken wat er gebeurt. Het kan echter ook systematischer en grondiger worden aangepakt.
Het eerste wat opvalt, is dat de grootte van de tafel minder belangrijk is dan de vorm. Elke rechthoek die gelijkvormig is aan een andere (dezelfde verhouding tussen de zijlengtes heeft) geeft hetzelfde resultaat. Dus een tafel van 3 bij 4 is hetzelfde als een tafel van 6 bij 8 en een tafel van 9 bij 12.
Een nuttige oefening op dit punt is om de resultaten te verzamelen van wat er gebeurt voor 1 x n en 2 x n tabellen.
- 1 bij n: De bal stuitert n – 1 keer en komt in de rechterbenedenhoek terecht als n even is, en in de rechterbovenhoek als n oneven is.
- 2 bij n: Als n = 2k, dan gedraagt een 2 bij 2k tafel zich als een 1 bij k tafel (omdat ze op elkaar lijken). Bij een 2 bij (2k + 1) tafel zijn er n stuiters en komt de bal in de linkerbovenhoek terecht.
Na wat verder experimenteren komt er een algemeen resultaat naar voren!
Resultaat
Als k en n geen gemeenschappelijke factoren hebben, dan zal de tafel van ak x n k + n – 2 stuiters hebben. De bal zal in de linkerbovenhoek eindigen als k even is. Als k oneven is, zal de bal in de rechterbovenhoek eindigen als n oneven is en in de rechterbenedenhoek als n even is. Als k en n wel gemeenschappelijke factoren hebben, deel dan door elkaar en pas dit resultaat toe op de gereduceerde getallen.
Een handige techniek om dit gemakkelijker te zien, is door de stuiterbewegingen te 'ontvouwen'. Maak een raster van tafels, zoals op de afbeelding, en laat de bal in een rechte lijn door alle tafelbladen rollen!
