Driehoeken vullen met driehoeken
Een regelmatige driehoek is een driehoek waarvan alle zijden en hoeken gelijk zijn (gelijkzijdig en gelijkhoekig). Hier lees je hoe je één grote regelmatige driehoek kunt vullen met 1, 4 of 7 kleinere regelmatige driehoeken.
DE UITDAGING
Vind andere aantallen regelmatige driehoeken om een grote regelmatige driehoek te vullen. Kun je dit doen voor 2, 3, 5, 6, 8, 9 of 10 regelmatige driehoeken?
EXPLORATION
Zoek waar mogelijk naar meerdere manieren om sommige van deze getallen te verkrijgen.
Notes
DE UITDAGING
Hier volgt een systematische manier om verschillende aantallen op te bouwen.
Vierkanten: Een goed beginpunt zijn de kwadraten. Het is eenvoudig om een driehoek te vullen met 1, 4 en 9 driehoeken door het regelmatige patroon te gebruiken zoals in de volgende afbeelding.
Even getallen: Na wat experimenteren kun je patronen maken voor 6, 8, 10 of elk ander groter even getal, als volgt. Begin met een grote driehoek en plaats vervolgens kleinere driehoeken langs één zijde.
Een driehoek vervangen: De volgende belangrijke stap is om te zien dat elke driehoek in een oplossing kan worden vervangen door elke andere bestaande oplossing. Dit werd bijvoorbeeld gedaan bij het maken van het patroon voor 7 in de inleiding – de driehoek in het midden voor "4" werd vervangen door vier kleinere driehoeken om "7" te vormen.
Als een driehoek wordt vervangen door vier driehoeken, neemt het totale aantal driehoeken met 3 toe. Begin met de lijst met oplossingen met behulp van kwadraten en even getallen: 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 en 16, en tel vervolgens 3 op bij elk getal in die lijst om 4, 7, 9, 11, 12, 13, 15 en 17 te krijgen. Door deze twee lijsten te combineren, krijgen we alle mogelijkheden tot en met 17: 1, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 en 17. Met behulp van deze ideeën is elk getal boven de 17 eenvoudig genoeg, en zo komen we tot de conclusie dat:
Antwoord: Alle getallen zijn mogelijk, behalve 2, 3 en 5.
EXPLORATION
Sommige van deze getallen kunnen op meer dan één manier worden gevormd. Zo kan 9 bijvoorbeeld worden gemaakt als een 3x3-patroon of als 6 plus nog eens 3. Natuurlijk zijn er nog andere interessante manieren om een driehoek te vullen die de moeite waard zijn om te ontdekken.