Vierkanten vinden – 1
In dit raster zijn in het rood twee vierkanten van 1 bij 1 en één vierkant van 2 bij 2 getekend, met horizontale en verticale zijden.
DE UITDAGING
Bepaal het aantal vierkanten van alle afmetingen met horizontale en verticale zijden in dit raster.
EXPLORATION
Experimenteer met nog grotere roosters. Kun je een systematische manier vinden om alle vakjes te tellen? Hoe verandert je antwoord, indien al, als het rooster van punten een rechthoek is in plaats van een vierkant?
Notes
DE UITDAGING
De mogelijke vierkanten hebben zijden met een lengte van 1 tot en met 4.
Voor elke vierkantgrootte beschouw je de linkerbovenhoek als startpositie. Je kunt alle vierkanten van deze grootte in het raster maken door dit startvierkant te verschuiven. Je kunt ervoor kiezen om het naar rechts of naar beneden te verplaatsen over het resterende aantal posities. Deze keuzes zijn onafhankelijk van elkaar, dus je krijgt... in het kwadraat van dat vierkant.
Stel bijvoorbeeld dat je vierkantjes van 1 bij 1 telt in dit raster van 4 bij 4. Een vierkantje van 1 bij 1 in de linkerbovenhoek kan 1 of 2 vakjes naar rechts en 1 of 2 vakjes naar beneden worden verschoven. Er zijn dus 3 mogelijke posities horizontaal (de oorspronkelijke positie meegerekend) en 3 mogelijke posities verticaal. Daardoor zijn er 3 x 3 van deze vierkantjes van 1 bij 1.
Voor het oorspronkelijke probleem met het 4x4-raster levert dit het volgende aantal op:
- 1 bij 1 vierkanten: 3 x 3 = 9
- 2 bij 2 vierkanten: 2 x 2 = 4
- Vierkanten van 3 bij 3: 1 x 1 = 1.
Er zijn in totaal 3 x 3 + 2 x 2 + 1 x 1 = 9 + 4 + 1 = 14 mogelijke vierkanten.
EXPLORATION
Bij elk vierkant raster is het totale aantal vakjes gelijk aan de som van de getallen kleiner dan de afmeting van het raster. Een raster van 7 bij 7 heeft bijvoorbeeld 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 91 vakjes.
Rechthoekige roosters zijn bijna net zo makkelijk te tellen. De kleinste van de twee afmetingen van de rechthoek bepaalt de maximale grootte van de mogelijke vierkantjes. Tel ze op een vergelijkbare manier als bij een vierkant rooster. Laten we in plaats van het algemene geval te behandelen, eens een illustratief voorbeeld bekijken.
Stel, je telt de vierkantjes in een raster van 5 bij 7. Omdat er maar 5 rijen zijn, kan geen enkel vierkantje groter zijn dan 4 bij 4.
- 1 bij 1 vierkanten: 4 x 6 = 24
- 2 bij 2 vierkanten: 3 x 5 = 15
- 3 bij 3 vierkanten: 2 x 4 = 8
- 4 bij 4 vierkanten: 1 x 3 = 3
Het totale aantal vierkanten is 24 + 15 + 8 + 3 = 50.