Trapeziumvormige getallen – 5
Trapeziumvormige getallen zijn de som van twee of meer opeenvolgende getallen. Ze danken hun naam aan het feit dat je met dat aantal stippen een trapezium kunt tekenen, zoals in de onderstaande voorbeelden te zien is. Merk op dat één stip op de bovenste rij het concept van een trapezium enigszins oprekt, maar het is wel toegestaan voor deze getallen.
DE UITDAGING
Vind een getal tussen 100 en 200 dat geen trapeziumgetal is.
EXPLORATION
Trapeziumvormige getallen zijn een voorbeeld van wat men figuurgetallen noemt. Figuur
Telefoon Nummer is een getal dat, wanneer zoveel stippen in een speciaal patroon worden geplaatst, een interessante figuur of
vorm. Driehoeksgetallen en kwadratische getallen zijn twee andere voorbeelden van figuurgetallen. Kun je bedenken...
Zijn er nog andere vormen van groepen stippen die de naam 'figuurgetal' zouden verdienen?
Notes
DE UITDAGING
In de aantekeningen bij “Trapeziumgetallen – 4” hebben we alle manieren bekeken waarop de getallen van 1 tot 20 als sommen van opeenvolgende getallen kunnen worden geschreven. Na bestudering van die gegevens hebben we de volgende hypothese geformuleerd.
Vermoeden: Het aantal manieren om een getal te schrijven als de som van opeenvolgende getallen is gelijk aan het aantal oneven delers groter dan 1 van dat getal.
Laten we eens kijken waarom deze bewering klopt. Stel dat het getal dat we onderzoeken n is, en dat a = 2m + 1 een deler van n is, zodat axb = n voor een bepaald getal b. Er zijn twee verschillende manieren om deze informatie te gebruiken om een reeks opeenvolgende getallen te maken die optellen tot n. De ene manier is wanneer...
Het getal 18, met zijn twee oneven delers 3 en 9, is nuttig om de twee manieren te illustreren waarop een reeks opeenvolgende getallen kan worden gevormd die samen een bepaald getal vormen.
Voor de oneven deler van 18, 3: 3 x 6 = 18. Begin met het maken van drie rijen van zes stippen. Zoals in de illustratie te zien is, laat je de middelste rij intact en verwijder je een driehoek van (rode) stippen uit de bovenste rijen (in dit geval slechts één stip) en verplaats je die driehoek naar de uiteinden van de onderste rijen. 18 = 5 + 6 + 7.
Voor de oneven deler van 18 is 9: 9 x 2 = 18. Begin met het maken van negen kolommen van twee stippen. Zoals in de illustratie te zien is, laat je de middelste kolom intact. Neem een trapezium van (rode) stippen aan de rechterkant en draai deze zodat deze boven de kolommen links van de middelste kolom komt te liggen. 18 = 3 + 4 + 5 + 6.
De enige getallen zonder oneven delers zijn machten van 2. Omdat ze geen oneven delers hebben, zijn machten van 2 de enige getallen die geen trapeziumgetallen zijn.
Het antwoord op deze uitdaging is dus: vind een macht van 2 die tussen 100 en 200 ligt. Het enige getal dat hieraan voldoet is 128, oftewel 2 tot de zevende macht.
EXPLORATION
In plaats van de stof te herhalen, kunt u op internet zoeken naar figuratieve getallen en veelhoekige getallen. Wikipedia heeft goede inleidende artikelen over beide onderwerpen.