Perfecte rechthoeken – 1
Een rechthoek die gevuld kan worden met vierkanten waarvan geen twee dezelfde zijlengte hebben, wordt een perfecte rechthoek genoemd. Hier is een voorbeeld van een perfecte rechthoek van 47 bij 65, gevuld met 10 vierkanten van verschillende zijlengtes.
DE UITDAGING
Bepaal de lengte van de zijden van de vierkanten in deze perfecte rechthoek van 33 bij 32, die gevuld is met 9 vierkanten.
Notes
DE UITDAGING
Je leerlingen kunnen de tekening zorgvuldig opmeten om de lengtes van de zijden te bepalen, maar hopelijk vinden ze het leuker om zelf de opgave op te lossen.
Een goed startpunt zijn de zes vierkantjes in de linkerbenedenhoek.
Laat n de zijlengte zijn van het kleinste vierkant, en x de zijlengte van het vierkant in het midden van de onderste rij (kortweg MB).
De vierkanten die het kleinste vierkant omringen, hebben een zijlengte die met n toeneemt naarmate ze rond het kleinste vierkant gaan. Het vierkant boven MB heeft een zijlengte van x – n, en het vierkant in de linkerbenedenhoek heeft een zijlengte van x + n. Het vierkant in de rechterbenedenhoek heeft de gecombineerde zijlengte van MB en het vierkant boven MB, dus de zijlengte is x + (x – n) = 2x – n. De zijlengtes van de vierkanten in de onderste "rij" van dit diagram tellen op tot 32, dus 32 = (x + n) + x + (2x – n) = 4x, wat betekent dat x = 8.
De stapel linksonder is (x + n) + (x + 2n) = 2x + 3n hoog. De stapel van drie vierkanten in het midden onderaan is x + (x – n) + middelste vierkant = 2x – n + middelste vierkant. Omdat 2x + 3n = 2x – n + middelste vierkant, is de zijlengte van het middelste vierkant 4n. Als n 2 is, zouden we twee vierkanten hebben met een zijlengte van 8. Als n 3 of groter is, zou dat middelste vierkant te groot zijn. Dus n = 1.
Met x = 8 en n = 1, en wetende dat de rechthoek 33 bij 32 is, is het invullen van de overige vakjes automatisch.
