Perfekte rektangler – 1
Et rektangel som kan fylles med firkanter, hvorav ingen har samme størrelse, kalles et perfekt rektangel. Her er et eksempel på et perfekt rektangel på 47 x 65 fylt med 10 firkanter i forskjellige størrelser.
UTFORDRINGEN
Finn størrelsene på kvadratene i dette perfekte rektangelet på 33 x 32 som er fylt med 9 kvadrater.
Merknader
UTFORDRINGEN
Elevene dine kan måle diagrammet nøye for å komme frem til størrelsene, men forhåpentligvis vil de like utfordringen med å løse problemet i stedet.
Et godt sted å starte er med de seks rutene i nedre venstre hjørne.
La n være størrelsen på det minste kvadratet, og x størrelsen på kvadratet midt på den nederste raden (kall det MB forkortet).
Kvadratene som omgir det minste kvadratet øker i størrelse med n etter hvert som de går rundt det minste kvadratet. Kvadratet oppå MB har størrelse x – n, og kvadratet nederst i venstre hjørne har størrelse x + n. Kvadratet nederst i høyre hjørne har også den kombinerte størrelsen på MB og kvadratet oppå MB, så størrelsen er x + (x – n) = 2x – n. Størrelsene på kvadratene på den nederste «raden» i dette diagrammet summerer seg til 32, så 32 = (x + n) + x + (2x – n) = 4x, som betyr x = 8.
Stakken langs nederste venstre side er (x + n) + (x + 2n) = 2x + 3n høy. Stakken med tre firkanter nederst i midten er x + (x -n) + midterste firkant = 2x – n + midterste firkant. Fordi 2x + 3n = 2x – n + midterste firkant, er midterste firkant 4n stor. Hvis n er 2, ville vi ha to firkanter på størrelse 8. Hvis n er 3 eller større, ville den midterste firkanten være for stor. Så n = 1.
Med x = 8 og n = 1, og når man vet at rektangelets størrelse er 33 ganger 32, fylles resten av rutene ut automatisk.
