Łamigłówki tygodnia

WYZWANIE

Należy zauważyć, że dla dowolnego n istnieje ograniczona liczba możliwych rozwiązań. Jeśli 1/N = 1/A – 1/B, to 1/A – 1/N = 1/B > 0. 1/A – 1/N > 0 oznacza, że ​​N > A. Zatem 1 < A < N oznacza, że ​​istnieje co najwyżej N – 2 rozwiązań, które można znaleźć, nieco żmudnie, sprawdzając wszystkie wartości A w tym zakresie.

W przypadku mianowników, które są liczbami parzystymi, np. 2d, zawsze mamy 1/2d = 1/d – 1/2d.

Innym sposobem na obliczenie różnic jest rozpoczęcie od wzoru dodawania. Najprostszy z nich to 1/n = 1/(n+1) + 1/[n(n+1)]. To daje 1/(n+1) = 1/n – 1/[n(n+1)]. Bardziej ogólna wersja to 1/ab = 1/[a(a+b)] + 1/[b(a+b)], co daje 1/[a(a+b)] = 1/ab – 1/[b(a+b)], gdzie ab > 1.

Zatem, ilekroć mianownik można rozłożyć na czynniki jako a(a+b), gdzie a i b są dodatnie, a ab > 1, otrzymamy różnicę. W szczególności, ponieważ każdą liczbę n > 2 można zapisać jako n = 1 x (1 + (n-1)), każdy ułamek egipski można zapisać jako różnicę przynajmniej na jeden sposób. Oto kilka przykładów:

• ⅓: a = 1, b = 2 daje ½ – ⅙
• ¼: a = 1, b = 3 daje ⅓ – 1/12
• ⅕: a = 1, b = 4 daje ¼ – 1/20
• ⅙: a = 1, b = 5 daje ⅕ – 1/30; a = 2, b = 1 daje ½ – ⅓
• 1/7: a = 1, b = 6 daje ⅙ – 1/42
• ⅛: a = 1, b = 7 daje 1/7 – 1/56; a = 2, b = 2 daje ¼ – 1/8

To nie wszystko. Na przykład pominęliśmy ⅙ = ¼ – 1/12.

Zagłębiając się w algebrę, dla a > 1 i b > a > 1, rozważmy 1/n = 1/a – 1/b = (b – a) / ab. Czyszczenie mianowników daje ab = n(ba), a rozwiązanie dla n daje n = ab/(ba). Zawsze, gdy znajdziemy a i b, które spełniają to równanie, będziemy w stanie obliczyć różnicę.

Przyjrzyjmy się kompletnym rozwiązaniom kilku przykładów z tej perspektywy i sprawdźmy, czy uda nam się dostrzec pewien schemat.

• 3 = 2 x 6 / (6 – 2)
• 4 = 2 x 4 / (4 -2) = 3 x 12 / (12 – 3)
• 5 = 4 x 20 / (20 – 4)
• 6 = 2 x 3 / (3 – 2) = 3 x 6 / (6 – 3) = 4 x 12 / (12 – 4) = 5 x 30 / (30 – 5)
• 7 = 6 x 42 / (42 – 6)
• 8 = 4 x 8 / (8 – 4) = 6 x 24 / (24 – 6) = 7 x 56 / (56 – 7)

Patrząc na te przykłady, wydaje się prawdopodobne, że istnieje tylko jedno rozwiązanie, gdy n jest liczbą pierwszą. Zobaczmy, dlaczego tak jest. Jeśli n jest liczbą pierwszą i a < n, to n = axb / (b – a) wymusza, aby b było wielokrotnością n, powiedzmy b = nx c. Wtedy n = ax nc / (nc – a) mówi, że ac / (nc – a) = 1, co oznacza ac = nc – a. Zapisując to, otrzymujemy nc = a(c + 1). Ponieważ n jest liczbą pierwszą, mamy c + 1 = n i a = c = n – 1. Tak więc a = n – 1 i b = n(n-1) jest jedynym rozwiązaniem