Em Outubro de 2026

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“Como formador de professores de matemática, trabalho regularmente com crianças desde o primeiro ano do ensino fundamental até estudantes universitários, e tenho adorado os quebra-cabeças semanais do Weekly Wonder. Assinei todos! Embora um quebra-cabeça possa ser rotulado como sendo para crianças do jardim de infância ao segundo ano, descobri que eles são divertidos para pessoas de todas as idades… são acessíveis o suficiente para que uma criança do jardim de infância possa tentar. Há conexões maravilhosas entre os diferentes níveis escolares e temas que se desenvolvem a cada semana. Um aluno que gosta de um deles pode até mesmo propor novas variações. Experimente – para seus alunos ou para você mesmo!” – John Golden, Professor de Matemática na GVSU.

Rep-tiles

Existem muitas maneiras lúdicas para as crianças explorarem o preenchimento de formas com formas menores. Normalmente, essas formas são polígonos, embora não precisem ser.

Crianças menores podem usar blocos de encaixe para criar padrões e formas livres. Elas podem até mesmo trabalhar em desafios técnicos, como descobrir quantas maneiras existem de preencher um triângulo ou hexágono grande com blocos de encaixe. Atividades semelhantes podem ser feitas com Tangrams ou Pentominós. Outra opção é ladrilhar superfícies planas com um ou mais tipos de formas (chamadas de tesselações). Escrevi sobre alguns desses tópicos em nosso boletim informativo de dezembro de 2024.

Nesta newsletter, quero explorar o que acontece quando preenchemos uma forma com versões menores dela mesma. Quando isso é possível, a forma é chamada de "rep-tile" – admito que os matemáticos têm um senso de humor peculiar. O rep-tile "Esfinge" está ilustrado acima com quatro cópias de si mesmo preenchendo-o.

Em um padrão de ladrilhos para répteis, os ladrilhos regulares são aqueles em que todas as formas têm o mesmo tamanho, os ladrilhos irregulares são aqueles que não são regulares e os ladrilhos perfeitos são ladrilhos irregulares em que não há duas formas do mesmo tamanho.

Analisaremos apenas exemplos adequados para crianças, onde os tamanhos das peças são múltiplos inteiros entre si.

Chega de definições e descrições, vejamos alguns exemplos.

Quadrados, retângulos e triângulos regulares

Existem muitas perguntas interessantes sobre como preencher peças de répteis. Muitas delas já são os Quebra-Cabeças da Semana do EFM. Também vamos explorar um pouco mais, analisando como preencher um quadrado com retângulos ou um retângulo com quadrados.

Tópico 1: Se você preencher um quadrado com quadrados, quantos quadrados são possíveis? O que acontece nos casos de pavimentações regulares, irregulares e perfeitas?

A questão de quantos quadrados podem ocorrer em ladrilhamentos irregulares é o enigma EFM " Preenchendo Quadrados com Quadrados ". Embora compreensível para uma criança pequena, requer paciência e persistência de uma criança um pouco mais velha para resolver o enigma, ou pelo menos uma criança trabalhando com um adulto. Ladrilhamentos perfeitos são muito difíceis de encontrar. Deixo para vocês a investigação de todos os ladrilhamentos regulares de um quadrado.

Tópico 2: Se você preencher um triângulo regular com esses triângulos, quantos triângulos são possíveis? O que acontece para ladrilhamentos regulares, irregulares e perfeitos?

De forma um tanto surpreendente, isso é muito semelhante ao que acontece com os quadrados no Tópico 1. A questão de quantos triângulos regulares podem ocorrer é o enigma EFM " Preenchendo Triângulos com Triângulos " .

Tópico 3: Você consegue determinar o tamanho dos quadrados quando recebe um desenho de um retângulo preenchido com quadrados?

Descobrir maneiras de preencher um quadrado ou retângulo com quadrados de tamanhos diferentes (ladrilhamentos perfeitos) pode ser muito complicado (para qualquer pessoa). Aqui estão alguns ótimos recursos sobre o assunto. O artigo da Wikipédia sobre " Quadrando o Quadrado " tem uma coleção maravilhosa de ilustrações, descrições e referências para decompor quadrados de diversas maneiras. Para uma coleção ainda mais completa, consulte o " Squaring.net " para ver mais ideias sobre o assunto do que você jamais imaginou.

No entanto, descobrir os tamanhos dos quadrados usando um desenho existente não é tão difícil e pode ser um quebra-cabeça divertido. Para ver dois exemplos desses quebra-cabeças, confira os Quebra-Cabeças da Semana do EFM “ Retângulos Perfeitos – 1 ” e “ Retângulos Perfeitos – 2 ”.

Tema 4: Você consegue preencher um quadrado com retângulos de forma a minimizar a diferença entre as áreas do retângulo maior e do retângulo menor? Este é o Quebra-Cabeça de Arte de Mondrian, criado por Gordon Hamilton.

Esta questão é o quebra-cabeça EFM " Preenchendo Quadrados com Caixas Diferentes ". Um aspecto interessante deste quebra-cabeça é que você sempre pode voltar a ele para ver se consegue melhorar seu trabalho anterior, e há muito espaço para discutir ideias com outras pessoas.

Mais Rep-tiles

Agora é hora de brincar com alguns tipos mais exóticos de peças de réptil. Existem formatos de peças de réptil demais para eu abordar, mesmo que minimamente, uma amostra representativa. A seguir, apresento alguns exemplos mais fáceis para uma criança trabalhar. Para ver um catálogo maior, consulte a página da Wikipédia sobre formatos de " peças de réptil ". Peças de réptil são um assunto relativamente novo para mim, então as perguntas a seguir não foram incorporadas à coleção de Quebra-Cabeças da Semana do EFM.

Tópico 5: Se você preencher uma forma de L de 3 quadrados com formas de L menores, quantas formas de L são possíveis?

Contar as possíveis figuras em forma de L com 3 quadrados é um pouco mais complicado do que contar os quadrados e triângulos dos Tópicos 1 e 2. Deixe seu filho brincar com isso antes de mostrar os diagramas acima.

A partir dessas imagens, sabemos que 1, 4 e 9 são todos possíveis. Usando a versão com 4 figuras, podemos substituir qualquer figura em forma de L por 4 delas – isso nos diz que qualquer número da forma 1 + 3n é possível. Da mesma forma, usando o diagrama com 9 figuras, sabemos que qualquer número da forma 1 + 8m é possível. Combinando as duas ideias, sabemos que qualquer número da forma 1 + 3n + 8m é possível. Pergunte ao seu filho qual é o menor número possível quando não há mais espaços vazios nas peças – isso é conhecido carinhosamente como o problema do Chicken McNugget.

Tópico 6: Se você preencher uma forma de L de 4 quadrados com formas de L menores, quantas formas de L são possíveis? Aqui estão três exemplos.

Tópico 7: Se você preencher uma forma de Utah de 5 quadrados (um quadrado de 2 por 2 com um quadrado de 1 por 1 em cima) com formas de Utah menores, quantas formas de Utah são possíveis?

Tópico 8: Todos os triângulos são peças reptilianas. Uma maneira de visualizar isso é conectar os pontos médios de qualquer triângulo para dividi-lo em quatro cópias menores de si mesmo.

Aqui estão dois exemplos de ladrilhos retangulares com dois lados que são números inteiros. Os triângulos na primeira linha têm lados 1 – √3 – 2, e os triângulos na segunda linha têm lados 1 – 2 – √5. Existem outros triângulos retângulos que criam ladrilhos interessantes, mas, em geral, isso é muito técnico para um aluno do ensino fundamental.

Embrulhar

Espero que você tenha gostado de brincar com esses blocos de répteis e que explore outras possibilidades que eles oferecem. Algumas das minhas próximas newsletters abordarão como criar formas divertidas dobrando, cortando ou entrelaçando pedaços de papel de diversas maneiras. Estou ansiosa para mergulhar nesse material e explorá-lo juntos!