Preenchendo triângulos com triângulos
Um triângulo regular é aquele cujos lados e ângulos são todos iguais (é equilátero e equiângulo). Veja como preencher um triângulo regular grande com 1, 4 ou 7 triângulos regulares.
O DESAFIO
Encontre outras quantidades de triângulos regulares para preencher um triângulo regular grande. Você consegue fazer isso para 2, 3, 5, 6, 8, 9 ou 10 triângulos regulares?
EXPLORAÇÃO
Sempre que possível, procure obter alguns desses números por meio de mais de uma forma.
Notas
O DESAFIO
Aqui está uma maneira sistemática de acumular várias contagens.
Quadrados: Um bom ponto de partida são os números quadrados. É fácil preencher um triângulo com 1, 4 e 9 triângulos, seguindo o padrão regular mostrado na ilustração a seguir.
Números pares: Após alguma experimentação, você pode criar padrões para 6, 8, 10 ou qualquer outro número par maior, da seguinte forma. Comece com um triângulo grande e, em seguida, coloque triângulos menores ao longo de um dos lados.
Substituindo um triângulo: O próximo grande passo é perceber que qualquer triângulo em uma solução pode ser substituído por qualquer outra solução existente. Por exemplo, isso foi feito na geração do padrão para o número 7 na introdução – o triângulo central do “4” foi substituído por quatro triângulos menores para gerar o “7”.
Sempre que um triângulo for substituído por quatro triângulos, o número total de triângulos aumentará em 3. Comece com a lista de soluções usando números quadrados e números pares: 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 e 16, e então adicione 3 a cada entrada dessa lista para obter 4, 7, 9, 11, 12, 13, 15 e 17. Combinando essas duas listas, obtemos todas as possibilidades até 17: 1, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 e 17. Usando essas ideias, qualquer número acima de 17 é bastante fácil, e assim chegamos à conclusão de que:
Resposta: Todos os números são possíveis, exceto 2, 3 e 5.
EXPLORAÇÃO
Alguns desses números podem ser formados de mais de uma maneira. Por exemplo, o 9 pode ser obtido com um padrão 3x3 ou com 6 mais três elementos. É claro que existem outras maneiras interessantes de preencher um triângulo que valem a pena descobrir.