Frações – 12
O DESAFIO
Utilize os números de 1 a 9 no máximo uma vez cada em cada conjunto de caixas.
Primeiro, faça
igual a 2/3 e, em seguida, encontre valores que façam
o mais próximo possível de 5/11.
Notas
O DESAFIO
Vou escrever a expressão como A/B x C/D para facilitar a explicação.
Parte 1: A/B x C/D = 2/3. Multiplique ambos os lados por 3 x B x D, resultando em 3 x A x C = 2 x B x D. Observe os fatores primos 2 e 3 – eles devem estar equilibrados em ambos os lados da equação. De 3, 6 e 9, temos quatro fatores de 3 para trabalhar. De 2, 4, 6 e 8, temos sete fatores de 2 para trabalhar. Existem duas maneiras de lidar com os 3.
- Caso 1: Nem A nem C são 3 ou 6, e B é 3 ou 6.
- B=3: 3 x A x C = 2 x 3 x D se reduz a A x C = 2 x D. As soluções para isso são 1 x 4 = 2 x 2, 1 x 8 = 2 x 4.
- B=6: 3 x A x C = 2 x 6 x D se reduz a A x C = 4 x D. A solução para isso é 1 x 8 = 4 x 2.
- Caso 2: A é 3 ou 6, e B é 9.
- A=3: 3 x 3 x C = 2 x 9 x D reduz-se a C = 2 x D – as opções para (C, D) são (2, 1), (4, 2) e (8, 4).
- A=6: 3 x 6 x C = 2 x 9 x D se reduz a C = D, o que é impossível.
Assim, as soluções para o problema são dadas por:
- (1 x 4) / (3 x 2)
- (1 x 8) / (3 x 4)
- (1 x 8) / (6 x 2)
- (3 x 2) / (9 x 1)
- (3 x 4) / (9 x 2)
- (3 x 8) / (9 x 4)
Parte 2: A/B x C/D ~ 5/11. Multiplique ambos os lados por 11 x B x D para transformar isso em 11 x A x C ~ 5 x B x D. Queremos encontrar múltiplos de 11 que sejam próximos de múltiplos de 5 e que possam ser obtidos usando os números de 1 a 9.
Aqui está a lista a ser considerada. Estes são múltiplos que estão separados por 1 e podem ser produzidos usando de 1 a 9: 11 x 4 ~ 8 x 5; 11 x 9 ~ 20 x 5; e 11 x 16 ~ 35 x 5. Quanto maiores os números, melhor, então vamos analisar este último.
(2 x 8) / (5 x 7) = 16 / 35 é muito próximo de 5/11 – eles diferem por 1 / (35 x 11) = 1 / 385.
Talvez os múltiplos que estejam a dois ou três de distância funcionem melhor? Não parece haver nenhum candidato que represente uma melhoria.