Quadrados Mágicos – 4
Em um quadrado mágico, todas as linhas, colunas e diagonais somam o mesmo número. Este primeiro quadrado não é um quadrado mágico. O segundo é um quadrado mágico com soma constante de 12.
O DESAFIO
Preencha estes dois quadrados mágicos usando estes dois conjuntos de números: 1) {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14} e {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}.
EXPLORAÇÃO
Observe todos os Quadrados Mágicos que você já viu e que não possuem entradas duplicadas. Crie uma tabela com seus resultados e procure por padrões. Se você recebesse qualquer outra sequência de números com espaçamento uniforme, como {4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44}, você conseguiria preencher o Quadrado Mágico imediatamente?
Notas
O DESAFIO E A EXPLORAÇÃO
Comece com a solução da versão padrão deste quebra-cabeça, de 1 a 9.
Para criar um quadrado mágico com números de 6 a 14, basta adicionar 5 a todos esses valores. Para criar um quadrado mágico com os números {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}, basta triplicar todos os valores da solução original.
Vejamos por que isso funciona. Suponha que temos a + b + c = S, onde S é a soma usada para todas as linhas, colunas e diagonais. No quebra-cabeça original de 1 a 9, S era 15.
Se adicionarmos 5 a todos os elementos, (a + 5) + (b + 5) + (c + 5) = (a + b + c) + 15 = S + 15. Os elementos no novo quebra-cabeça somam um total 15 unidades maior que o original, portanto, a soma de todos eles ainda resulta no mesmo (novo) valor.
Se multiplicarmos por 3, então (3a) + (3b) + (3c) = 3(a + b + c) = 3S. As entradas no novo quebra-cabeça somam um valor três vezes maior que o original.
Se fizermos qualquer combinação de multiplicação e adição, ainda funciona. Suponha que multipliquemos por m e depois adicionemos n. Obtemos (ma + n) + (mb + n) + (mc + n) = (ma + mb + mc) + (n + n + n) = m (a + b + c) + 3n = mS + 3n. Portanto, não importa quais sejam os valores de m e n, as novas entradas sempre resultarão no mesmo valor!
É claro que seus alunos não estão preparados para essa álgebra, mas, ao analisarem esses exemplos, eles perceberão os padrões de como isso funciona.