Evitarea dreptunghiurilor – 2
X-urile dintr-o grilă pot deveni colțurile unor dreptunghiuri cu laturi orizontale și verticale. X-urile din această primă grilă formează două dreptunghiuri. Cu toate acestea, scopul este de a evita crearea de dreptunghiuri. X-urile din a doua grilă sunt plasate pentru a evita formarea oricăror dreptunghiuri.
PROVOCAREA
Plasați cât mai multe X-uri în această grilă de 4 pe 4 și evitați să creați dreptunghiuri.
EXPLORARE
Care este maximul pe care îl puteți obține pentru alte dimensiuni de grilă? Observați vreun tipar în răspunsurile dumneavoastră?
notițe
PROVOCAREA
A rezolva această problemă, în general, este o problemă matematică foarte dificilă și nerezolvată. Totuși, acest lucru nu ar trebui să împiedice un elev să se joace cu ea și să învețe o mulțime de lucruri interesante pe parcurs.
Să presupunem că grila are m rânduri și n coloane. În Evitarea dreptunghiurilor – 1, am găsit următoarele rezultate pentru cele mai bune răspunsuri.
1 și 2 rânduri: Am avut m + n – 1 X-uri
3 rânduri: Am avut m + n X-uri folosind o diagramă inițială pentru o grilă de 3 pe 3 care arăta ca următoarea diagramă. Folosind acea diagramă, dacă am avea 3 rânduri cu mai multe coloane, putem adăuga pur și simplu un singur X în fiecare coloană nouă.
Cazul 3 pe 3 a necesitat o abordare diferită față de strategia cu 1 și 2 rânduri și este tentant să credem că exemplele cu 4 sau mai multe rânduri vor necesita, de asemenea, o nouă abordare. Pentru a spune evident, dorim să creăm o colecție de coloane care nu au niciodată în comun o pereche de rânduri cu X-uri.
O strategie este de a completa tot ce se află în coloana din stânga, cu excepția pătratului de jos, iar apoi restul coloanelor au un X în rândul de jos și un X într-un alt rând. Aceasta va funcționa întotdeauna și produce (m – 1) + 2 x (m – 1) = 3 x (m – 1) X-uri pentru o grilă pătrată de m pe m. Această metodă de completare a pătratului poate fi apoi extinsă (prin adăugarea unui singur X în fiecare coloană nouă) la orice are m rânduri pentru a obține 3 x (m – 1) + (n – m) = n + 2m – 3 X-uri, când m < n. Această formulă funcționează pentru toate răspunsurile pentru grila de orice dimensiune (cu mai mult de un rând) de până acum.
EXPLORARE
Căutarea celor mai bune răspunsuri online arată că poți face 12 X-uri pentru carcasa de 5 pe 5 (pe care le poți obține folosind modelul) și apoi 16 X-uri pentru carcasa de 6 pe 6 (prezentată aici).
După aceea, numerele care încep de la 7 câte 7, în ordine, sunt: 21, 24, 29, 34, 39, 45, 52, 56, 61, 67, 74, 81, 88, 96, 105, 108, 115 și 122. Matematicienii au făcut o mulțime de explorări interesante despre cum funcționează acestea, iar matematicienii voștri se pot distra și ei de minune cu asta!
