Ноябрь 2024

Новости

«Кривая дракона: волшебное математическое путешествие » — я рада объявить о выходе новой бесплатной аннотированной версии книги « Кривая дракона» Алисии Бердесс, подготовленной с помощью программы EFM. Эта очаровательная история рассказывает о девочке, исследующей фрактальные формы, создаваемые складыванием длинного листа бумаги. Поскольку этот информационный бюллетень посвящен фракталам, время для его публикации выбрано как нельзя лучше.

Чествуем волонтеров EFM

Все сотрудники Early Family Math – неоплачиваемые волонтеры. Абсолютно все. В прошлом месяце я начала отмечать заслуги некоторых наших замечательных волонтеров, и хотела бы продолжить эту традицию в этом месяце.

Ингрид, Диана, Габи и Мария

Эти четверо составили мощную команду переводчиков с испанского языка для EFM. Они были нашими первыми переводчиками на любой язык и перевели большую часть наших детских книг и материалов для семейного досуга. Они из разных испаноязычных стран, и мне было интересно подслушивать их оживленные дискуссии о выборе слов, которые были бы универсальными для всех испаноязычных стран.

Василикэ

Он преподает во Франции и занимается обучением студентов, работающих над переводом с английского на французский. За два года его группа перевела на французский язык большую часть детских книг издательства EFM.

Фракталы

Фракталы — это геометрические фигуры, обладающие мелкозернистыми внутренними структурными элементами, которые напоминают общую фигуру. Эти внутренние детали, как правило, продолжаются бесконечно, позволяя увеличивать масштаб изображения и видеть то, что выглядит как целая фигура.

Многие природные объекты имеют фрактальные формы: снежинки, молнии, раковины наутилусов, спиральные галактики, подсолнухи, папоротники, брокколи, горы и береговые линии. Существует также множество созданных человеком форм, обладающих фрактальными характеристиками. Компьютеры сделали визуализацию этих математически определенных фигур проще и более впечатляющей.

Множество Мандельброта

Это, пожалуй, самый известный пример фрактального поведения. Это множество определяется комплексными числами, поэтому я не буду вдаваться в математические выкладки, лежащие в его основе. Частично его известность обусловлена ​​прекрасными изображениями, как на фотографиях, так и в фильмах, созданными множеством людей, демонстрирующими части этого множества в необычных цветовых решениях. Поищите в интернете множество произведений искусства, созданных разными людьми. Вот изображение из Википедии, созданное Вольфгангом Байером с помощью программы Ultra Fractal 3.

Снежинка Коха

Эта фигура — один из самых простых фракталов, которые можно создать вместе с ребенком. Начните с правильного треугольника (все стороны одинаковой длины). Разделите каждую сторону на 3 части, поместите новый, меньший треугольник на каждую среднюю часть, а затем сотрите среднюю часть. После этого повторяйте этот процесс с новыми сторонами. Ниже представлены первые четыре шага, показанные на иллюстрации из Википедии, созданной Chas_zzz_brown, Shibboleth:

Помимо наслаждения красотой результатов, возникают и некоторые закономерные вопросы относительно этой кривой.

Сколько сторон останется после определенного количества шагов? Вы начинаете с 3. После первого шага у вас будет 12. После второго шага у вас будет 48. Каждый следующий шаг увеличивает количество сторон в 4 раза.

Какова длина кривой после определенного количества шагов? Ответ на этот вопрос весьма неожиданный. Предположим, начальная длина стороны равна 1. Тогда длина исходного треугольника равна 3. После одного шага длина сторон составляет 12, каждая длиной 1/3, поэтому общая длина равна 12 х 1/3 = 4. После следующего шага длина становится 48 х 1/9 = 16/3. На каждом шаге длина увеличивается в 4/3 раза. Если бы задачу можно было выполнить, сделав бесконечное количество шагов, результатом была бы кривая бесконечной длины, которая поместилась бы в коробку размером 1 на 1!

Кривая Леви C — это ещё одна фрактальная кривая, построение которой аналогично снежинке Коха.

«Кривая дракона» и книга Алисии Бердесс

Предлагаю вам скачать и прочитать книгу Бердесса « Кривая дракона: волшебное математическое путешествие» , чтобы узнать об интересных свойствах этой кривой. Вот изображение коллекции кривых дракона, покрывающих плоскость, предоставленное Прокофьевым для Википедии.

Треугольник Серпинского, ковер Серпинского, тетраэдр Серпинского и губка Менгера

Эти четыре фигуры имеют схожую конструкцию.

Для построения треугольника начните с закрашенного правильного треугольника. На первом этапе разделите этот треугольник на четыре равные части и удалите центральный треугольник. На втором этапе разделите каждый из трех оставшихся треугольников на четыре равные части и удалите центральный треугольник из каждой из них. Продолжайте бесконечно, или пока не устанете. Вот изображение, созданное Беояном Станислаусом и размещенное в Википедии.

Ковер изначально представляет собой закрашенный квадрат. На первом этапе разделите его на 9 равных квадратов и удалите центральный квадрат из каждого из них. На втором этапе разделите каждый из оставшихся квадратов на 9 еще меньших квадратов и удалите центральный квадрат из каждого из них. Продолжайте таким образом бесконечно.

Удивительное свойство треугольника и ковра заключается в том, что их площадь равна нулю. В случае треугольника на каждом шаге оставшаяся площадь составляет ¾ от площади предыдущего шага. Если постоянно умножать на ¾, оставшаяся площадь становится сколь угодно малой. То же самое верно и для ковра, только в этом случае каждый раз вы умножаете на 8/9.

Тетраэдр Серпинского и губка Менгера — это трёхмерные версии треугольника и ковра. Они обладают удивительным свойством не иметь ни объёма, ни площади поверхности!

Здесь представлены изображения из Википедии, иллюстрирующие первые четыре этапа создания губки Менгера.

Дробные размерности

Бесконечные процессы могут приводить к удивительным результатам. Наша интуиция часто бывает удивлена ​​бесконечностью. Прекрасным примером этого является то, как математическое сообщество было поражено, когда в 1874 году Георг Кантор показал, что существуют разные размеры бесконечных множеств и что на самом деле существует бесконечное число размеров бесконечных множеств. Это вызвало столько споров в то время, что некоторые из самых известных и авторитетных математиков того времени называли его мошенником и шарлатаном.

Мы уже видели, что в конечной области может существовать бесконечно длинная кривая (например, снежинка Коха) и что из твердой области можно вырезать разреженный набор фрагментов, в результате чего площадь не останется (например, фигуры Серпинского).

Анализаторы фрактальных фигур обнаружили, что эти фигуры не ведут себя как типичные фигуры с точки зрения размерности. Например, исследователи, анализирующие береговую линию Великобритании, заметили, что длина побережья увеличивается по мере приближения и включения большего количества деталей. Важной идеей, возникшей в результате этой работы, стало новое понимание того, что может означать «размерность».

Предположим, у вас есть одномерная, двухмерная или трехмерная фигура, и вы хотите создать ее новую версию, у которой стороны вдвое больше.

Если взять отрезок прямой, то, используя две его копии, можно сделать его вдвое больше. Если начать с квадрата, то для получения нового квадрата со сторонами вдвое большими потребуется соединить четыре квадрата. А если у вас есть куб, то для получения нового куба со сторонами вдвое большими потребуется 8 кубов. Люди пришли к выводу, что естественное понятие размерности определяется вычислением, в котором учитывается степень, необходимая для увеличения количества частей на желаемую величину. Прямая одномерна, потому что 2¹ = 2; для удвоения длины требуется две части. Квадрат двумерен, потому что 2² = 4; для удвоения длины требуется четыре части. Куб трехмерен, потому что 2³ = 8; для удвоения длины требуется 8 частей.

Это определение размерности используется для определения так называемой фрактальной размерности (или размерности Хаусдорфа ) фигуры. Вернемся к треугольнику Серпинского: для создания нового треугольника со сторонами вдвое большими требуется 3 копии. Чтобы получить 3, нужно возвести 2 в степень 1.585. Для ковра: чтобы создать новый ковер со сторонами в три раза большими, нужно 8 копий. Чтобы получить 8, нужно возвести 3 в степень 1.8928!

Представьте себе фигуры с размерами 1.585 и 1.8928!

Фракталы в кино и на фотографиях

Замечательное применение фракталов — это эффективные способы создания реалистичных компьютерных изображений для фотографий и фильмов. Используя небольшие наборы данных и алгоритмы, можно создавать реалистичные изображения гор, сельской местности и пламени, и их гораздо проще обрабатывать, чем реальные изображения с сопоставимым уровнем детализации.

Подводя итог

Надеюсь, вам понравились эти прекрасные изображения и узоры, и надеюсь, что ваши горизонты расширились благодаря этим неожиданным идеям, связанным с бесконечностью. Я понимаю, что эта тема относительно несложна для непосредственного изучения вашим ребенком, поэтому в следующем месяце я надеюсь дать ему немного больше возможностей для игр. Желаю всем чудесного Дня благодарения!