Нахождение квадратов – 3
На этой сетке красным цветом обозначены два квадрата 1 на 1 и один квадрат 2 на 2 с горизонтальной и вертикальной сторонами.
CHALLENGE
Найдите в этой сетке все квадраты разных размеров. Обратите внимание, что некоторые квадраты не имеют горизонтальных и вертикальных сторон. Для каждого найденного квадрата определите его площадь. Зная площадь, определите длину его стороны.
РАЗВЕДКА
Можно ли найти различные методы для вычисления этих площадей? Можно ли найти формулу для длины стороны, используя только описание одной стороны?
Заметки
ВЫЗОВ И ИССЛЕДОВАНИЕ
Найти площадь квадратов с горизонтальными и вертикальными сторонами довольно просто. Таких квадратов четыре: 1 на 1, 2 на 2, 3 на 3 и 4 на 4, с площадями 1, 4, 9 и 16.
С другими квадратами немного сложнее. Суть в том, чтобы разрезать область на части, площадь которых нам известна. В качестве альтернативы, мы можем окружить квадрат большим квадратом и посмотреть на части внутри него.
Рассмотрим квадрат, образованный стороной, которая смещается на три и поднимается на одну.
Площадь можно найти, сложив четыре внутренних синих прямоугольных треугольника вместе с белым квадратом. В результате получим площадь 4 x (½ x 3 x 1) + 2 x 2 = 6 + 4 = 10. Длина стороны будет равна квадратному корню из 10. Также площадь можно найти, вычтя площадь четырех зеленых прямоугольных треугольников из большого внешнего квадрата. В результате получим площадь 4 x 4 – (4 x (½ x 3 x 1)) = 16 – 6 = 10, как и раньше.
Аналогичный процесс можно использовать для любого из квадратов, расположенных по диагонали.
После выполнения нескольких таких заданий заинтересованный ученик может заметить закономерность. Возможно, знания алгебры у ваших учеников недостаточны для этого, но закономерность в числах, если представить их в таблице, все равно можно увидеть, не используя буквы. Пусть «а» — величина, на которую сторона смещается вправо, а «б» — величина, на которую сторона поднимается вверх. Нахождение площади изнутри сводится к сложению 4 x (½ xaxb) + (a – b) x (a – b), что равно 𝑎² + 𝑏². Нахождение площади снаружи дает (a + b) x (a + b) – 4 x (½ xaxb), что упрощается до того же результата.
Мы нашли два доказательства теоремы Пифагора!