april 2026

Nyheter

EFM fyller 5!

Det har varit fem fantastiska år för Early Family Math sedan den första webbplatsen och nyhetsbrevet. Vi har en fantastisk grupp människor som stöder vårt program (gå gärna med oss) och vi har skapat en webbplats, två mobilappar och en mycket stor samling material på över ett dussin språk. Till alla våra supportrar, kollegor och givare – Tack! Vi hade inte kunnat göra det utan er!

Ny webbplats – Vi är glada att kunna meddela att www.EarlyFamilyMath.org om ungefär en vecka kommer att visa upp en helt omarbetad EFM-webbplats. Den har många nya funktioner för dig att njuta av, och här är några:

* 104 världsspråk stöds via maskinöversättning

* Utöver våra traditionella PDF-filer med mänskliga översättningar på ett dussin språk erbjuder vi nu möjligheten att leka med detta material (som våra pussel eller spel) direkt på vår webbplats på 104 maskinöversatta språk.

* Nya karaktärer och illustrationer

Appen Early School Math – Mobilappen Early School Math (ESM) finns nu i mobilappen Early Family Math (EFM) i båda appbutikerna.

ESM – Google Play Butik

ESM – Apple

EFM – Google Play Butik

EFM – Apple

Matematik och politisk representation

Med alla kontroverser kring röstning nuförtiden känns det aktuellt att prata om matematiska aspekter av röstning och hur man kan leka med dem med barn.

Att vara begränsad till att använda heltal kan leda till en del knepiga problem att lösa. Om ett recept kräver 3 ägg, vad gör man om man vill göra en halv sats och vad händer med de överblivna ingredienserna?

Politiska representationer är en särskilt knepig arena för detta. Anta att befolkningsstatistiken visar att din delstat förtjänar att ha 14 2/3 representanter i representanthuset. Att använda exakt det svaret kommer att fungera ganska obekvämt för någon. Det är synd att det inte kan finnas en enda representant med 14 2/3 röster, men det är inte så det fungerar.

Detta nyhetsbrev tittar på tre aspekter av politisk representation där lösningarna ofta är förvånansvärt knepiga och intressanta.

Skapa röstdistrikt – Gerrymandering

Även om det är ett ämne med en lång historia har valkretsar varit mycket uppmärksammade åtminstone det senaste året. Valkretsar syftar på att konstruera valdistrikt för att få en orättvis fördel för ett parti eller en sak i ett val. Den stora frågan är mycket svår att definiera: Vad innebär det att ha en "orättvis fördel"?

Efter att en rösträttslig jurisdiktion, som en delstat, har fått reda på hur många representanter de har, behöver de dela upp sitt geografiska område i lika många regioner. Det finns väldigt många saker som kan beaktas, och det finns inget tydligt sätt att ge en rättvis röst åt alla olika överväganden samtidigt. Det är så svårt att jag inte ens tänker försöka börja med det här.

Istället ska vi titta på hur saker avsiktligt kan manipuleras för att vara orättvisa. Mina vänner på Julia Robinson Mathematics Festival (JRMF) ( https://jrmf.org/ ) har skapat några valpussel för barn ( https://jrmf.org/puzzle/gerrymandering/ ) . Dessa pussel är lätta att förstå för ett barn, är roliga att leka med och ger enkla illustrationer av hur utformningen av valdistrikt kan manipuleras för att hjälpa den ena eller andra sidan.

Föreställ dig att rutnätet ovan representerar den geografiska utformningen av väljarna i ett distrikt som behöver delas upp i fem lika stora delar med fem rutor vardera (varje liten ruta representerar en enda väljare). Anta vidare att de blå rutorna är personer som är intresserade av att rösta på ett sätt och de röda rutorna röstar på motsatt sätt.

* Hur kan detta delas upp för att hjälpa den ena eller den andra sidan?

* Använd olika distriktsdesigner för att hitta det största respektive minsta antalet distrikt som rött kan kontrollera. Varför måste rött dominera åtminstone några av de distrikt du skapar?

I alla dessa JRMF gerrymandering-pussel finns det två regler.

* Distrikten måste vara lika stora (ha samma antal små rutor).

* Varje distrikt är sammankopplat – det måste vara möjligt att resa mellan två rutor i ett distrikt genom att resa längs en serie rutor i distriktet där varje par delar en sida.

Utmana varandra med hjälp av olika jurisdiktioners storlekar, former och färgtotaler för att skapa röstningsområden där ni kan skapa överraskande resultat. JRMF har många bra exempel.

Om du vill bli ambitiös, skapa en jurisdiktion där två saker måste balanseras samtidigt. Tänk dig nu hur det är när du har kanske ett dussin saker att försöka balansera rättvist, vad "rättvist" än kan betyda.

Detta ger inte bara ditt barn insikter i hur gerrymandering fungerar, det är också bra övning för att multiplicera, dividera och dela upp en hel grupp i lika stora delar.

REPRESENTANTHUSET

Man kanske tror att det vore enkelt att fördela antalet representanter i representanthuset till varje delstat i USA:s representanthus. När man väl (något godtyckligt) bestämt det totala antalet representanter för hela representanthuset (satt till 435 sedan 1929), beräknar man hur stor andel av hela befolkningen varje delstat har och ger dem den andelen representanter. Vad kan gå fel?

Anta att det finns 100 representanter, fyra stater (A, B, C, D), och att staterna förtjänade följande bråkdelar av totalen (1/5, 1/4, 3/10 och 1/4). I det här fallet skulle A få 20, B skulle få 25, C skulle få 30 och D skulle få 25. Det är ganska enkelt.

Åh, om det bara vore så enkelt. Vi kommer tillbaka till problemet med att bara kunna använda heltalssvar. Du kanske blir förvånad över att detta är tillräckligt knepigt för att det har använts fyra olika metoder sedan det första systemet skapat av Jefferson, vilket användes från 1790 till 1830.

Fortsätt med exemplet att ha 100 representanter för delstaterna A, B, C och D. Anta den här gången att de ska få 1/3, 1/6, 2/7 och 3/14. Om vi ​​kunde använda bråkdelsrepresentanter skulle de ha 33 1/3, 16 2/3, 28 4/7 och 21 3/7 representanter. Det första steget är att ge de fyra delstaterna deras grundläggande heltal representanter: A – 33, B – 16, C – 28 och D – 21 representanter. Den stora frågan som människor har tillbringat 150 år med att diskutera är vad man ska göra med de återstående 2 representanterna.

Innan du läser vidare, prata med ditt barn om hur du skulle hantera det här problemet.

Hamiltonmetoden, som är den metod de flesta använder, säger att man ska ge de överblivna representanterna till de stater med de största fraktionerna. Med Hamiltons metod skulle B gå från 16 till 17, och C skulle gå från 28 till 29. Hamiltons metod användes från 1850 till 1890. Man upptäckte "Alabamaparadoxen" som inträffade när det totala antalet platser i representanthuset ökades, och strax efter den upptäckten förkastades Hamiltonmetoden.

Ett ganska enkelt exempel på saker som kan gå fel med Hamiltonmetoden kan ses i dessa exempel lånade från Phillips Exeter Academys problemuppsättningar. För detta finns det tre stater, A, B och C. För varje scenario, beräkna antalet representanter som varje stat skulle få med Hamiltonmetoden. När du är klar, jämför resultaten och leta efter situationer som verkar udda eller orättvisa.

Scenario 1: 100 representanter totalt. Populationer av A 453; B 442; C 105 – totalt 1000

Scenario 2: 101 representanter totalt. Populationer av A 453; B 442; C 105 – totalt 1000

Scenario 3: 100 representanter totalt. Populationer av A 647; B 247; C 106 – totalt 1000

Scenario 4: 100 representanter totalt. Populationer av A 650; B 255; C 105 – totalt 1010

Andra tidiga system för att fördela platser i representanthuset skapades av Jefferson, Adams och Webster. Jeffersons system var det som ursprungligen användes 1790. Det verkar vara en för stor sidoresa för detta nyhetsbrev, så jag lämnar det till mer äventyrslystna läsare att läsa om dessa och andra system som har använts.

Diofantiska ekvationer

De gamla grekerna trodde ursprungligen att alla tal kunde uttryckas som bråk med hjälp av heltal. Det ledde dem naturligt till att bara vara intresserade av heltalssvar på matematiska frågor. Vid första anblicken kanske man tror att denna restriktiva syn skulle ge dem oinspirerande matematik att arbeta med. Men som vi har sett skapar denna begränsning roliga utmaningar att hantera. Den antika greken Diofantos är så känd för att titta på dessa frågor att han har fått en hel del matematik uppkallad efter sig.

Några klassiska exempel på diofantiska ekvationer är att utforska heltalslösningar till ekvationer som ax + by = c och a^2 + b^2 = c^2, och att undersöka när man kan skriva ett heltal som summan av två kvadrater.

Röstsystem

Om det är 99 personer som röstar och två kandidater, A och B, att rösta på, är omröstningen ganska enkel – den som får 50 eller fler röster vinner. Det blir knepigare om det är ett jämnt antal personer som röstar och det är oavgjort. Även för 99 personer finns det filosofiskt ett problem om 50 personer knappt föredrar A framför B, och 49 personer tycker att det är otänkbart dåligt att välja A. Borde A vinna? Istället för att rösta på A eller B, borde man kunna tilldela en decimal preferens för varje kandidat?

Det blir mycket knepigare om det finns tre eller fler kandidater. Det finns många sätt att hantera den här situationen och de kan vara roliga att utforska med barn. Utforska situationer där valet inte går ut som ni skulle vilja. Anta att det är 20 personer som röstar på fyra kandidater A, B, C och D.

* Alternativ 1: Om ingen får majoritet av rösterna har de två med flest röster en omvalsrunda. Antag att A och B får 6 röster vardera, och C och D får 4 röster vardera. Det kan bli vissa olyckliga konsekvenser om säg alla som röstade på D skulle ha röstat på C om D inte hade ställt upp. Detta krav kan leda till att man betalar för en dyr omvalsrunda där betydligt färre väljare vanligtvis röstar.

* Alternativ 2: Kandidaten med flest röster vinner. Anta att A får 6 röster, B och C får 5 röster och D får 4 röster. Var A verkligen ett så populärt val? År 2024 vann en kongresskandidat ett primärval i Arizona med strax under en fjärdedel av rösterna.

* Alternativ 3: Rangordnat val (även kallat Instant Runoff). Detta system används i Alaska, Maine och i ett antal andra jurisdiktioner. I detta system rangordnar varje väljare alla kandidater i ordning efter sin preferens. Om en kandidat har en majoritet av rösterna på första plats vinner de. Om inte, tas kandidaten med minst antal röster på första plats bort (det är som om de aldrig varit med i valet), och alla väljare som valde den kandidaten som förstahandsval anses nu ha röstat på sitt andrahandsval. Denna process fortsätter vid behov tills ett val har gjorts. Den största nackdelen med detta system är att det är mer komplicerat för väljarna att förstå och göra genomtänkta val genom att rangordna alla kandidater.

Det finns en fara med de två första alternativen att tredjepartskandidater inte kommer att kandidera eftersom de kan fungera som spoilers för en av de två huvudkandidaterna. I presidentvalet 2000 är det en allmän uppfattning att Ralph Naders kandidering som tredjepartskandidat förändrade valresultatet – naturligtvis kan det vara knepigt att titta på alternativa universum och analysera "tänk om".

Sammanfatta

Jag hoppas att du tycker om att titta på några av dessa röstningsämnen med ditt barn. Jag förstår att dessa exempel täcker en rad olika matematiska färdigheter – jag hoppas att ditt barn kommer att tycka om att utforska de som fungerar bra för dem.

Nu väntar ytterligare fem år av förbättring av tidig matematikundervisning! Det har varit en mycket givande resa för mig!