Handskakningar på en fest – 1
Tio personer var på en fest. Mycket handskakning förekom. När man frågade hur många händer varje person skakade blev svaren: 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6 och 8. När detta tillkännagavs för gruppen ropade en person "Det är omöjligt!"
UTMANINGEN
Hade den personen rätt, gjorde någon ett misstag i sin handskakningsräkning? Hur vet du det?
EXPLORATION
Undersök närmare antalet handskakningar och skapa en kort lista över möjliga antal.
och några som är omöjliga.
Anmärkningar
UTMANINGEN
En intressant egenskap hos handskakningar är att de är ömsesidiga – om jag skakar din hand, skakar du också min hand. Denna typ av egenskap kan förekomma i andra sammanhang, till exempel i ömsesidiga vänskaper.
På grund av denna egenskap hos handslag, om du summerar handskakningarna för alla personer inblandade i en händelse, kommer varje handslag att räknas två gånger, en gång för varje sida av handslaget. Följaktligen bör det bli ett jämnt tal när alla handslag summeras. Om du summerar 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6 och 8, blir totalen 47, vilket är ett udda tal. Så ett misstag måste ha begåtts!
EXPLORATION
Av det som just diskuterades, om en samling av antal ska vara möjlig, måste deras summa vara jämn. Ett annat uppenbart krav är att varje enskild antal måste vara mindre än det totala antalet personer (ingen skakar hand).
Dessa två villkor är dock inte tillräckliga. Tänk dig till exempel fallen 4, 4, 4, 4, 2. Av dessa fem personer har fyra skakat hand med varandra, så det är inte möjligt för den sista personen att bara ha två handslag. På liknande sätt, medan 4, 4, 4, 3, 3 kan hända, kan inte 4, 4, 4, 2, 2 hända.
I ”Handskakningar på en fest – 2” kommer vi att se att handskakningslistan 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 är omöjlig, trots att den har en jämn summa.
Detta ger gott om utrymme för vidare utforskande för den intresserade studenten.