Trasig miniräknare – 1
Du har en kalkylator som är väldigt trasig. Dess enda fungerande tangenter är 4, 7, + och -. Även med denna begränsade förmåga är det möjligt att räkna ut alla siffror. Till exempel:
1 = 4 + 4 – 7
2 = 4 + 4 + 4 + 4 – 7 – 7
UTMANINGEN
Visa att den här miniräknaren kan räkna ut alla tal från 1 till 12.
EXPLORATION
Ersätt 4 och 7 med andra talpar. När är det möjligt att få alla tal från 1 till 12, och när är det omöjligt? Kan du titta på ett talpar och förutsäga vad som kommer att hända?
Anmärkningar
UTMANINGEN
Eleverna experimenterar med alla tal som kan framställas genom att ta en valfri multipel av 4 och addera den till en valfri multipel av 7. Utan att få veta detta tittar de på det som kallas Bezouts sats. Den satsen säger att alla möjliga kombinationer av multiplarna (både positiva och negativa) av två tal är mängden multiplar av den största gemensamma faktorn (divisorn) av de två talen. Den största gemensamma faktorn för 4 och 7 är 1, så vi borde kunna få alla möjliga tal. Dessutom kommer det att finnas ett oändligt antal sätt att få vart och ett av dem.
Här är några exempel på siffrorna från 1 till 12:
- 1 = 4 + 4 – 7 = 9 x 4 – 5 x 7 = 16 x 4 – 9 x 7
- 2 = 7 + 7 – 4 – 4 – 4 = 6 x 7 – 10 x 4 = 10 x 7 – 17 x 4
- 3 = 7 – 4 = 5 x 7 – 8 x 4 = 9 x 7 – 15 x 4
- 4 = 4 = 4 x 7 – 6 x 4 = 8 x 7 – 13 x 4
- 5 = 3 x 4 – 7
- 6 = 2 x 7 – 2 x 4
- 7 7 =
- 8 2 = 4 x XNUMX
- 9 = 3 x 7 – 3 x 4
- 10 = 2 x 7 – 4
- 11 = 4 + 7
- 12 3 = 4 x XNUMX
När du väl har en kombination för den största gemensamma faktorn kan du använda den för att få en valfri multipel av den största gemensamma faktorn. För 4 och 7 är ett sätt att få 1 som 2 x 4 – 7. Vi kan få vilket annat tal som helst, till exempel 23, genom att skriva 23 = 23 (2 x 4 – 7) = 46 x 4 – 23 x 7. När vi väl har en lösning för ett tal kan vi få alla andra lösningar genom att lägga till 0 till den (jag vet att det låter konstigt). Till exempel har vi 1 = 2 x 4 – 7 = (2 x 4 – 7) + (7 x 4 – 4 x 7) = 9 x 4 – 5 x 7). Vi kan addera valfri multipel av (7 x 4 – 4 x 7) och det kommer inte att ändra värdet.
EXPLORATION
Som nämnts ovan kommer denna process att producera exakt alla multiplar av den största gemensamma faktorn för de två talen. Om den största gemensamma faktorn är 1, kommer alla tal att produceras.
Ta 4 och 6 som exempel. Deras största gemensamt vald kohortvärde (GCF) är 2. Varje kombination av multiplar av 4 och 6 kommer alltid att vara jämn, så det är omöjligt att producera alla tal. Detta blir tydligare om du tänker på 4 och 6 som 2 gånger 2 och 3. Du vet att summor av multiplar av 2 och 3 kommer att producera alla tal eftersom de är relativt primtal. Men 4 och 6 kommer att ta var och en av dessa summor och multiplicera dem med 2, så det är därför du får alla multiplar av 2!