Sehemu za Misri – 4
Karibu miaka 4000 iliyopita, Wamisri wa kale waliunda mfumo ambapo sehemu zao zote zilikuwa za umbo la
1/n. Hizi huitwa Sehemu za MisriBaadhi ya Sehemu za Kimisri zinaweza kuandikwa kama tofauti ya mbili
Sehemu za Kimisri. ⅓ = ½ – ⅙ ni mfano wa kufanya hivyo.
CHANGAMOTO
Ni Sehemu zipi za Kimisri zinaweza kuandikwa kama tofauti ya Sehemu mbili za Kimisri kwa pekee
njia moja? Ni zipi zinaweza kuandikwa kwa njia mbili haswa? Je, kuna zingine zenye njia zaidi ya mbili?
1/N = 1/A – 1/B
Vidokezo
CHANGAMOTO
Jambo moja la kuzingatia ni kwamba kwa n yoyote, kuna idadi ndogo ya suluhisho zinazowezekana. Ikiwa 1/N = 1/A – 1/B, basi 1/A – 1/N = 1/B > 0. 1/A – 1/N > 0 inamaanisha kuwa N > A. Kwa hivyo, 1 < A < N, ambayo inamaanisha kuwa kuna suluhisho nyingi zaidi za N – 2, na zinaweza kupatikana, kwa kuchosha kidogo, kwa kuangalia thamani zote za A katika safu hiyo.
Kwa denominators ambazo ni nambari shufwa, tuseme 2d, daima kuna 1/2d = 1/d - 1/2d.
Njia nyingine ya kutoa tofauti ni kuanza na fomula ya kuongeza. Rahisi zaidi tuliyonayo ni kwamba 1/n = 1/(n+1) + 1/[n(n+1)]. Hii inakuwa 1/(n+1) = 1/n – 1/[n(n+1)]. Toleo la jumla zaidi la hili ni 1/ab = 1/[a(a+b)] + 1/[b(a+b)] ambayo inakuwa 1/[a(a+b)] = 1/ab – 1/[b(a+b)] ambapo ab > 1.
Kwa hivyo, wakati wowote dhehebu linaweza kuhesabiwa kama a(a+b), na a na b chanya na ab > 1, tutakuwa na tofauti. Hasa, kwa sababu kila nambari n > 2 inaweza kuandikwa kama n = 1 x (1 + (n-1)), basi kila Sehemu ya Kimisri inaweza kuandikwa kama tofauti kwa angalau njia moja. Hapa kuna mifano michache:
- ⅓: a = 1, b = 2 inatoa ½ – ⅙
- ¼: a = 1, b = 3 inatoa ⅓ – 1/12
- ⅕: a = 1, b = 4 inatoa ¼ – 1/20
- ⅙: a = 1, b = 5 inatoa ⅕ – 1/30; a = 2, b = 1 inatoa ½ – ⅓
- 1/7: a = 1, b = 6 inatoa ⅙ – 1/42
- ⅛: a = 1, b = 7 inatoa 1/7 – 1/56; a = 2, b = 2 inatoa ¼ – 1/8
Hii si kila kitu. Kwa mfano, tumekosa ⅙ = ¼ – 1/12.
Kuzama katika aljebra fulani, kwa > 1 na b > a > 1, fikiria 1/n = 1/a – 1/b = (b – a) / ab. Kusafisha denominators hutoa ab = n(ba), na kutatua kwa n hutoa, n = ab/(ba). Wakati wowote tunapoweza kupata a na b zinazofanya hili lifanye kazi, tutaweza kutoa tofauti.
Hebu tuangalie suluhisho kamili kwa mifano michache kutoka kwa mtazamo huu na tuone kama tunaweza kuona muundo.
- 3 = 2 x 6 / (6 - 2)
- 4 = 2 x 4 / (4 -2) = 3 x 12 / (12 - 3)
- 5 = 4 x 20 / (20 - 4)
- 6 = 2 x 3 / (3 – 2) = 3 x 6 / (6 – 3) = 4 x 12 / (12 – 4) = 5 x 30 / (30 – 5)
- 7 = 6 x 42 / (42 - 6)
- 8 = 4 x 8 / (8 – 4) = 6 x 24 / (24 – 6) = 7 x 56 / (56 – 7)
Tukiangalia mifano hii, inaonekana kuna uwezekano kwamba kuna suluhisho moja tu wakati n ni prime. Hebu tuone ni kwa nini hilo ni. Ikiwa n ni prime na a < n, basi n = axb / (b – a) inalazimisha b kuwa nyingi ya n, tuseme b = nx c. Kisha n = ax nc / (nc – a) inasema kwamba ac / (nc – a) = 1, ambayo ina maana ac = nc – a. Kuandika upya hii tunapata nc = a(c + 1). Kwa sababu n ni prime, tuna c + 1 = n na a = c = n – 1. Kwa hivyo a = n – 1 na b = n(n-1) ndiyo suluhisho pekee