Уникнення прямокутників – 2
Хрестики в сітці можуть стати кутами прямокутників з горизонтальними та вертикальними сторонами. Хрестики в цій першій сітці утворюють два прямокутники. Однак метою є уникнення утворення прямокутників. Хрестики в другій сітці розміщені так, щоб уникнути утворення будь-яких прямокутників.
ВИКЛИК
Розмістіть якомога більше хрестик у цій сітці 4 на 4, уникаючи створення прямокутників.
ПОЯСНЕННЯ
Який максимальний розмір сітки ви можете мати? Чи бачите ви якісь закономірності у своїх відповідях?
примітки
ВИКЛИК
Розв'язати цю задачу загалом є дуже складною та невирішеною задачею в математиці. Однак це не повинно заважати учню експериментувати з нею та вивчати багато цікавого по ходу справи.
Припустимо, що сітка має m рядків та n стовпців. У статті «Уникнення прямокутників – 1» ми знайшли такі результати для найкращих відповідей.
1 та 2 ряди: У нас було m + n – 1 X
3 рядки: У нас було m + n X, використовуючи початкову діаграму для сітки 3 на 3, яка виглядала як наведена нижче. Використовуючи цю діаграму, якби у нас було 3 рядки з більшою кількістю стовпців, ми могли б просто додати один X у кожен новий стовпець.
Випадок 3 на 3 вимагав іншого погляду, ніж стратегія з 1 та 2 рядками, і є спокуса подумати, що приклади з 4 або більше рядками також вимагатимуть нового мислення. Щоб сформулювати очевидне, ми хочемо створити колекцію стовпців, які ніколи не мають спільної пари рядків з X у них.
Одна стратегія полягає в тому, щоб заповнити все в крайньому лівому стовпці, крім нижнього квадрата, а потім у решті стовпців поставити один X у нижньому рядку та один X в іншому рядку. Це завжди працюватиме та дасть (m – 1) + 2 x (m – 1) = 3 x (m – 1) X для квадратної сітки розміром m на m. Цей метод заповнення квадрата можна потім поширити (додавши один X у кожен новий стовпець) на будь-що з m рядків, щоб отримати 3 x (m – 1) + (n – m) = n + 2m – 3 X, коли m < n. Ця формула працює для всіх відповідей для сітки будь-якого розміру (з більш ніж 1 рядком) на даний момент.
ПОЯСНЕННЯ
Пошук найкращих відповідей в Інтернеті показує, що ви можете зробити 12 X для корпусу 5 на 5 (який можна отримати за допомогою шаблону), а потім 16 X для корпусу 6 на 6 (показано тут).
Після цього числа, починаючи з 7 на 7, по порядку: 21, 24, 29, 34, 39, 45, 52, 56, 61, 67, 74, 81, 88, 96, 105, 108, 115 та 122. Математики провели багато цікавих досліджень того, як це працює, і ваші математики також можуть отримати від цього масу задоволення!
