Більярдна куля, що стрибає
ВИКЛИК
Більярдна куля, кинута під кутом 45 градусів з лівого нижнього кута більярдного столу розміром 3 на 4, відскочить 5 разів, перш ніж вдариться об правий нижній кут столу. Якщо почати з лівого нижнього кута більярдного столу розміром 4 на 7, скільки разів куля відскочить, перш ніж вдариться об один з кутів?
ПОЯСНЕННЯ
Для столів інших розмірів, чи можете ви передбачити, який кут буде вражений першим і скільки відскоків буде зроблено? Чи можете ви використати деякі ідеї з геометрії, щоб спростити задачу?
примітки
ВИКЛИК ТА ДОСЛІДЖЕННЯ
З цим можна погратися та насолодитися, використовуючи аркуш міліметрового паперу та спостерігаючи, що вийде. До цього також можна підійти більш систематично та ретельно.
Перше, що слід помітити, це те, що розмір столу не такий важливий, як його форма. Будь-який прямокутник, схожий на інший (з таким самим співвідношенням довжин сторін), дасть той самий результат. Отже, стіл 3 на 4 буде таким самим, як стіл 6 на 8 та стіл 9 на 12.
Корисною вправою на цьому етапі є збір результатів того, що відбувається для таблиць 1 на n та 2 на n.
- 1 на n: М'яч зробить n – 1 відскок і опиниться в правому нижньому куті, якщо n парних чисел, і в правому верхньому куті, якщо n непарне.
- 2 на n: Якщо n = 2k, то стіл 2 на 2k поводиться як стіл 1 на k (оскільки вони схожі). У столі 2 на (2k + 1) відбувається n відскоків, і м'яч опиняється у верхньому лівому куті.
Після ще кількох експериментів з'являється загальний результат!
Результат
Якщо k та n не мають спільних дільників, то таблиця ak на n матиме k + n – 2 відскоків. М'яч опиниться у верхньому лівому куті, якщо k парне. Якщо k непарне, м'яч опиниться у верхньому правому куті, якщо n непарне, і в нижньому правому куті, якщо n парне. Якщо k та n мають спільні дільники, то поділіть ці дільники та застосуйте цей результат до зменшених чисел.
Один зручний спосіб легше це побачити – «розгорнути» відскоки. Зробіть сітку зі столів, як показано на малюнку, і дайте м’ячу пройти по прямій лінії через усі стільниці!
