Зламаний калькулятор – 1
У вас є калькулятор, який сильно зламаний. Його єдині робочі клавіші - це 4, 7, + та -. Навіть з такою обмеженою здатністю можна скласти будь-яке число. Наприклад:
1 = 4 + 4 – 7
2 = 4 + 4 + 4 + 4 – 7 – 7
ВИКЛИК
Покажіть, що цей калькулятор може обчислити всі числа від 1 до 12.
ПОЯСНЕННЯ
Замініть 4 та 7 іншими парами чисел. Коли можливо отримати всі числа від 1 до 12, а коли це неможливо? Чи можете ви подивитися на пару чисел і передбачити, що станеться?
примітки
ВИКЛИК
Учні експериментують з усіма числами, які можна отримати, додавши будь-яке число, кратне 4, до будь-якого числа, кратного 7. Не кажучи їм про це, вони розглядають теорему Безу. Ця теорема стверджує, що всі можливі комбінації кратних (як додатних, так і від'ємних) двох чисел є множиною кратних найбільшого спільного дільника (дільника) цих двох чисел. Найбільший спільний дільник 4 і 7 дорівнює 1, тому ми повинні мати змогу отримати всі можливі числа. Крім того, існує нескінченна кількість способів отримати кожне з них.
Ось кілька прикладів чисел від 1 до 12:
- 1 = 4 + 4 – 7 = 9 x 4 – 5 x 7 = 16 x 4 – 9 x 7
- 2 = 7 + 7 – 4 – 4 – 4 = 6 x 7 – 10 x 4 = 10 x 7 – 17 x 4
- 3 = 7 – 4 = 5 x 7 – 8 x 4 = 9 x 7 – 15 x 4
- 4 = 4 = 4 x 7 – 6 x 4 = 8 x 7 – 13 x 4
- 5 = 3 x 4 – 7
- 6 = 2 x 7 – 2 x 4
- 7 = 7
- 8 = 2x4
- 9 = 3 x 7 – 3 x 4
- 10 = 2 x 7 – 4
- 11 = 4 + 7
- 12 = 3x4
Щойно ви отримаєте комбінацію для найбільшого спільного дільника, ви можете використати її, щоб отримати будь-яке кратне найбільшого спільного дільника. Для чисел 4 та 7 один зі способів отримати 1 – це як 2 x 4 – 7. Ми можемо отримати будь-яке інше число, наприклад, 23, записавши 23 = 23 (2 x 4 – 7) = 46 x 4 – 23 x 7. Щойно у нас є одне рішення для числа, ми можемо отримати всі інші рішення, додавши до нього 0 (я знаю, що це звучить дивно). Наприклад, у нас є 1 = 2 x 4 – 7 = (2 x 4 – 7) + (7 x 4 – 4 x 7) = 9 x 4 – 5 x 7). Ми можемо додати будь-яке кратне (7 x 4 – 4 x 7), і це не змінить значення.
ПОЯСНЕННЯ
Як згадувалося вище, цей процес видасть точно всі числа, кратні найбільшому спільному дільнику двох чисел. Якщо цей НСД дорівнює 1, то будуть отримані всі числа.
Візьмемо, наприклад, 4 та 6. Їхній НСД дорівнює 2. Будь-яка комбінація чисел, кратних 4 та 6, завжди буде парною, тому неможливо отримати кожне число. Це стає більш очевидним, якщо уявити 4 та 6 як 2, помножене на 2 та 3. Ви знаєте, що сума чисел, кратних 2 та 3, дасть усі числа, оскільки вони взаємно прості. Однак, 4 та 6 помножать кожну з цих сум на 2, тому ви отримаєте всі числа, кратні 2!