Єгипетські дроби – 2
Близько 4000 років тому стародавні єгиптяни розробили особливий спосіб запису дробів. Одиничні дроби , тобто дроби з 1 у чисельнику, такі як ⅓ та ⅛, були важливими для них і також відомі як єгипетські дроби . Єгиптяни записували будь-яку дробову величину як суму єгипетських дробів, яка є сумою єгипетських дробів без дублікатів. Наприклад, для ⅞ вони записували суму єгипетських дробів ⅞ = ½ + ¼ + ⅛.
ВИКЛИК
Запишіть 39/50 у вигляді суми єгипетських дробів, використовуючи якомога менше дробів.
39/50 = 1/A + 1/B + …
ПОЯСНЕННЯ
Ваша відповідь абсолютно найкраща? Якщо так, то які ваші причини?
примітки
ВИКЛИК
Ви можете зменшити це, віднявши найбільший єгипетський дріб і подивитися, що залишиться. Це завжди працює з будь-яким дробом, але не завжди дає найменшу кількість єгипетських дробів.
По-перше, 39/50 > ½, отже 39/50 = ½ + 14/50 = ½ + 7/25.
7/25 > ¼, тому далі відніміть ¼. 39/50 = ½ + ¼ + 3/100.
Зрештою, 3/100 = 2/100 + 1/100 = 1/50 + 1/100.
Підсумовуючи все, отримуємо 39/50 = ½ + ¼ + 1/50 + 1/100.
ПОЯСНЕННЯ
Мені невідомий скорочений спосіб аналізу того, чи можлива менша кількість дробів.
Розглянемо, якби можна було використати три дроби. Дріб з найбільшим значенням має бути щонайменше ⅓. В іншому випадку найбільше значення суми трьох дробів було б ¼ + ⅕ + ⅙, а цього недостатньо.
- Найбільший дріб дорівнює ½: значення, що залишилося, дорівнює 39/50 – ½ = 7/25. Більший з двох дробів, що залишилися, має бути щонайменше 1/7. Це призводить до чотирьох можливих варіантів: ½ + ¼, ½ + ⅕, ½ + ⅙ та ½ + 1/7.
- Найбільший дріб — ⅓: Залишок дорівнює 39/50 – ⅓ = 67/150. Більший з двох дробів, що залишилися, має бути щонайменше ⅕. Це призводить до двох можливих варіантів: ⅓ + ¼ та ⅓ + ⅕.
Це негарно. Однак, не так багато комбінацій можна перевірити, щоб переконатися, що три дроби не спрацюють.