Заповнення трикутників трикутниками
Правильний трикутник — це трикутник , у якого всі сторони та кути рівні (він рівносторонній та рівнокутний). Ось як заповнити один великий правильний трикутник 1, 4 або 7 правильними трикутниками.
ВИКЛИК
Знайдіть інші кількості правильних трикутників для заповнення великого правильного трикутника. Чи можете ви зробити це для 2, 3, 5, 6, 8, 9 або 10 правильних трикутників?
ПОЯСНЕННЯ
Коли можливо, знайдіть більше одного способу отримати деякі з цих чисел.
примітки
ВИКЛИК
Ось систематичний спосіб побудови різних підрахунків.
Квадрати: Гарним початком буде квадрат чисел. Легко заповнити трикутник 1, 4 та 9 трикутниками, використовуючи звичайний візерунок, як показано на наступній ілюстрації.
Парні числа: Після деяких експериментів ви можете створити візерунки для 6, 8, 10 або будь-якого іншого більшого парного числа наступним чином. Почніть з великого трикутника, а потім розмістіть менші трикутники вздовж однієї сторони.
Заміна одного трикутника: Наступний великий крок — побачити, що будь-який трикутник у розв’язку можна замінити будь-яким іншим існуючим розв’язком. Наприклад, це було зроблено під час створення шаблону для числа 7 у вступі – трикутник у центрі для числа «4» був замінений чотирма меншими трикутниками, щоб отримати число «7».
Щоразу, коли один трикутник замінюється чотирма трикутниками, це збільшує загальну кількість трикутників на 3. Почніть зі списку рішень, використовуючи квадратні та парні числа: 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 та 16, а потім додайте 3 до кожного запису в цьому списку, щоб отримати 4, 7, 9, 11, 12, 13, 15 та 17. Поєднання цих двох списків дає всі можливі рішення до 17: 1, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 та 17. Використовуючи ці ідеї, кожне число вище 17 є досить простим, і тому ми доходимо висновку, що:
Відповідь: Усі числа можливі, крім 2, 3 та 5.
ПОЯСНЕННЯ
Деякі з цих чисел можна отримати кількома способами. Наприклад, 9 можна отримати як візерунок 3 на 3 або як 6 плюс ще три. Звичайно, є й інші цікаві способи заповнення трикутника.