Знаходження квадратів – 1
Червоним кольором на цій сітці намальовані два квадрати 1 на 1 та один квадрат 2 на 2 з горизонтальною та вертикальною сторонами.
ВИКЛИК
Знайдіть кількість квадратів усіх розмірів з горизонтальними та вертикальними сторонами в цій сітці.
ПОЯСНЕННЯ
Пограйтеся з ще більшими сітками. Чи можете ви знайти систематичний спосіб підрахунку всіх квадратів? Як зміниться ваша відповідь, якщо взагалі зміниться, якщо сітка точок буде прямокутником, який не є квадратом?
примітки
ВИКЛИК
Можливі квадрати мають довжину сторін від 1 до 4.
Для кожного розміру квадрата вважайте верхній лівий кут початковою позицією. Ви можете створити всі квадрати такого розміру в сітці, зміщуючи цей початковий квадрат. Ви можете перемістити його праворуч або вниз на решту позицій. Це незалежні варіанти, тому ви отримуєте квадрат такого розміру квадрата.
Наприклад, припустимо, що ви рахуєте квадрати 1 на 1 у цій сітці 4 на 4. Квадрат 1 на 1 у верхньому лівому куті можна змістити на 1 або 2 праворуч і на 1 або 2 вниз. Отже, є 3 можливі положення по горизонталі (враховуючи початкове положення) і 3 можливі положення по вертикалі. Таким чином, є 3 x 3 таких квадратів 1 на 1.
Для початкової задачі з сіткою 4 на 4 це дає наступний підрахунок:
- Квадрати 1 на 1: 3 x 3 = 9
- Квадрати 2 на 2: 2 x 2 = 4
- Квадрати 3 на 3: 1 x 1 = 1.
Всього є 3 x 3 + 2 x 2 + 1 x 1 = 9 + 4 + 1 = 14 можливих квадратів.
ПОЯСНЕННЯ
Для будь-якої квадратної сітки загальна кількість квадратів буде дорівнювати сумі чисел квадратів, меншій за розмір сітки. Наприклад, сітка 7 на 7 матиме 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 91 квадрат.
Прямокутні сітки майже так само легко порахувати. Менший з двох вимірів прямокутника обмежуватиме максимальний розмір можливих квадратів. Порахуйте їх аналогічно, як і у випадку квадратної сітки. Замість загального випадку, давайте просто розглянемо один ілюстративний приклад.
Припустимо, ви рахуєте квадрати в сітці 5 на 7. Оскільки рядків лише 5, жоден квадрат не може бути більшим за 4 на 4.
- Квадрати 1 на 1: 4 x 6 = 24
- Квадрати 2 на 2: 3 x 5 = 15
- Квадрати 3 на 3: 2 x 4 = 8
- Квадрати 4 на 4: 1 x 3 = 3
Загальна кількість квадратів дорівнює 24 + 15 + 8 + 3 = 50.