Добуток дорівнює сумі
ВИКЛИК
Припустимо, що у вас є п'ять додатних цілих чисел, A, B, C, D та E, так що виконується наступне твердження. Яке найбільше можливе значення будь-якого з цих чисел?
A x B x C x D x E = A + B + C + D + E
ПОЯСНЕННЯ
Що станеться, якщо в такому рівнянні буде інша кількість чисел?
примітки
ВИКЛИК
Вдивляючись у задачу, ви усвідомлюєте, що хочете отримати певний вплив на той факт, що зі збільшенням чисел сума зростатиме не так швидко, як добуток. Одна проста річ, яку можна зробити, це перетворити суму на добуток наступним чином.
Припустимо, що числа A, B, C, D та E розташовані в порядку спадання, так що A є найбільшим значенням (воно може бути пов'язане з іншими). Тоді A + B + C + D + E ≤ 5A. Отже, A x B x C x D x E = A + B + C + D + E ≤ 5A. Отже, маємо B x C x D x E ≤ 5. Оскільки це цілі числа, у нас дуже мало можливостей для розгляду!
Кожен з них буде перерахований у порядку B, C, D, E.
- 5, 1, 1, 1: Тоді A x 5 x 1 x 1 x 1 = A + 5 + 1 + 1 + 1, отже 5A = A + 8. Це означало б, що A дорівнює 2, чого не може статися, оскільки A вважається найбільшим значенням.
- 4, 1, 1, 1: Тоді A x 4 x 1 x 1 x 1 = A + 4 + 1 + 1 + 1, отже 4A = A + 7. Це означало б 3A = 7, що неможливо.
- 3, 1, 1, 1: Тоді A x 3 x 1 x 1 x 1 = A + 3 + 1 + 1 + 1, отже 3A = A + 6. Це означало б 2A = 6, отже A = 3. Це дає розв'язок 3 x 3 x 1 x 1 x 1 = 3 + 3 + 1 + 1 + 1 = 9.
- 2, 1, 1, 1: Тоді A x 2 x 1 x 1 x 1 = A + 2 + 1 + 1 + 1, отже 2A = A + 5. Це означало б A = 5. Це дає розв'язок, що 5 x 2 x 1 x 1 x 1 = 5 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10.
- 1, 1, 1, 1: Тоді A x 1 x 1 x 1 x 1 = A + 1 + 1 + 1 + 1, отже A = A + 4, що неможливо.
● 2, 2, 1, 1: Тоді A x 2 x 2 x 1 x 1 = A + 2 + 2 + 1 + 1, отже 4A = A + 6. Це означало б A = 2. Це дає розв'язок, що 2 x 2 x 2 x 1 x 1 = 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 8.
Таким чином, є три розв'язки: 3, 3, 1, 1, 1; 5, 2, 1, 1, 1; та 2, 2, 2, 1, 1. Найбільше число, яке зустрічається в будь-якому з них, дорівнює 5.
ПОЯСНЕННЯ
Дуже схожий аналіз можна провести для будь-якої кількості чисел. Що стосується більших чисел, то для аналізу потрібно більше.
Для чисел 2, 3 та 4 отримуємо:
- 2 x 2 = 2 + 2
- 3 x 2 x 1 = 3 + 2 + 1
- 4 x 2 x 1 x 1 = 4 + 2 + 1 + 1
Окрім цих конкретних відповідей, після розгляду низки прикладів «зрозуміло», що коли є n чисел, найбільшим числом завжди буде «n», пов'язане з розв'язком nx 2 x 1 x 1 x … x 1 = n + 2 + 1 + 1 + … + 1.