交叉线
这两个长方形被红线切成了两半。
在这个3×5的矩形中：红线穿过了6个小正方形的边。请检查你是否同意！
在4×6的矩形中：红线也穿过了6个小正方形的边。（我们不计算红线穿过正方形角的情况。）
的挑战
这是一个长36宽、宽42宽的长方形，被一条红线分成两半。这条红线会穿过多少个小正方形的边？
勘探
其他尺寸的矩形会发生什么情况？你观察到了什么规律？
笔记
挑战与探索
当高度和宽度的变化量恰好平分矩形的高度和宽度时，对角线将正好穿过矩形的一个角。
考虑引言中的 4×6 方格。因为 2 是 4 和 6 的公因数，我们可以将这个较大的 4×6 方格分割成若干个 2×2 的小方格，每个小方格又由 4/2×6/2 小方格组成。4×6 方格的对角线恰好是其中两个 2×3 小方格的对角线，并且穿过这两个小方格的交点。
在另一个 3×5 矩形的入门示例中，最大公约数为 1，因此对角线不经过任何角。
假设矩形的长为 n，宽为 m，且 n 和 m 的最大公约数为 c。
c = 1：在这种情况下，对角线将穿过所有 n – 1 条内部水平线和所有 m – 1 条内部垂直线。因此，它将总共穿过 n + m – 2 个盒子边。
c > 1：将对角线分成 c 段。每段对角线都是一个长为 n/c、宽为 m/c 的矩形的对角线，其中 n/c 和 m/c 的最大公约数为 1。因此，每段对角线将穿过 n/c + m/c – 2 个矩形边。所有段加起来将穿过 c × (n/c + m/c – 2) = n + m – 2c 个矩形边。
一般答案是 n + m – 2c。让我们将此应用于两个入门示例和挑战性谜题。
对于一个 3×5 的矩形，c 为 1，答案是 3 + 5 – (2×1) = 8 – 2 = 6。
对于一个 4×6 的矩形，c 为 2，答案是 4 + 6 – (2×2) = 10 – 4 = 6。
对于挑战 36 x 42 的矩形，c 为 6，答案为 36 + 42 – (2 x 6) = 78 – 12 = 66。