本週謎題

的挑戰

當你仔細審視這個問題時，你會意識到，隨著數字的增加，總和的成長速度遠不及乘積的成長速度，因此你需要找到一些方法來應對這種情況。一個簡單的辦法是將總和轉換為乘積，如下所示。

假設數字 A、B、C、D 和 E 按降序排列，其中 A 最大（也可能與其他數字並列）。則 A + B + C + D + E ≤ 5A。因此，A × B × C × D × E = A + B + C + D + E ≤ 5A。所以，B × C × D × E ≤ 5。由於這些都是整數，所以我們需要考慮的可能性非常少！

這些將按 B、C、D、E 的順序排列。

• 5, 1, 1, 1: 則 A x 5 x 1 x 1 x 1 = A + 5 + 1 + 1 + 1，所以 5A = A + 8。這意味著 A 是 2，這不可能，因為 A 應該是最大值。
• 4, 1, 1, 1: 則 A x 4 x 1 x 1 x 1 = A + 4 + 1 + 1 + 1，所以 4A = A + 7。這意味著 3A = 7，這是不可能的。
• 3, 1, 1, 1：則 A × 3 × 1 × 1 × 1 = A + 3 + 1 + 1 + 1，所以 3A = A + 6。這意味著 2A = 6，所以 A = 3。由此得出解為 3 × 3 × 1 × 1 × 1 = 3 + 3 + 1 + 1 + 1 = 9。
• 2, 1, 1, 1: 則 A × 2 × 1 × 1 × 1 = A + 2 + 1 + 1 + 1，所以 2A = A + 5。這意味著 A = 5。由此得出解為 5 × 2 × 1 × 1 × 1 = 5 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10。
• 1, 1, 1, 1: 那麼 A x 1 x 1 x 1 x 1 = A + 1 + 1 + 1 + 1，所以 A = A + 4，這是不可能的。
  ● 2, 2, 1, 1: 則 A × 2 × 2 × 1 × 1 = A + 2 + 2 + 1 + 1，所以 4A = A + 6。這意味著 A = 2。由此得出解為 2 × 2 × 2 × 1 × 1 = 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 8。

因此，共有三種解：3, 3, 1, 1, 1；5, 2, 1, 1, 1；以及 2, 2, 2, 1, 1。其中出現的最大數字是 5。

勘探

對於任意數量的數字，都可以進行非常類似的分析。數字越大，需要分析的內容就越多。

對於 2、3 和 4 這三個數字，我們得到：

• 2 × 2 = 2 + 2
• 3 × 2 × 1 = 3 + 2 + 1
• 4 × 2 × 1 × 1 = 4 + 2 + 1 + 1

除了這些具體答案之外，經過一些例子的檢驗，可以「清楚地」看出，當有 n 個數時，最大的數總是與解 nx 2 x 1 x 1 x … x 1 = n + 2 + 1 + 1 + … + 1 相關聯。