Perfekte Rechtecke – 1
Ein Rechteck, das vollständig mit Quadraten ausgefüllt werden kann, von denen keines die gleiche Größe hat, wird als perfektes Rechteck bezeichnet. Hier ist ein Beispiel für ein 47 × 65 großes perfektes Rechteck, das mit 10 Quadraten unterschiedlicher Größe ausgefüllt ist.
DIE HERAUSFORDERUNG
Bestimme die Größen der Quadrate in diesem 33 x 32 perfekten Rechteck, das mit 9 Quadraten gefüllt ist.
Notizen
DIE HERAUSFORDERUNG
Ihre Schüler können das Diagramm sorgfältig ausmessen, um die Größen zu ermitteln, aber hoffentlich werden sie die Herausforderung der Problemlösung genießen.
Ein guter Ausgangspunkt sind die sechs Quadrate in der unteren linken Ecke.
Sei n die Größe des kleinsten Quadrats und x die Größe des Quadrats in der Mitte der untersten Reihe (kurz MB).
Die Quadrate, die das kleinste Quadrat umgeben, werden jeweils um n größer. Das Quadrat über MB hat die Seitenlänge x – n, und das Quadrat in der unteren linken Ecke hat die Seitenlänge x + n. Das Quadrat in der unteren rechten Ecke hat die Seitenlänge von MB und dem Quadrat darüber zusammen, also x + (x – n) = 2x – n. Die Seitenlängen der Quadrate in der unteren Reihe dieses Diagramms ergeben zusammen 32, also 32 = (x + n) + x + (2x – n) = 4x, woraus x = 8 folgt.
Der Stapel unten links ist (x + n) + (x + 2n) = 2x + 3n hoch. Der Stapel aus drei Quadraten unten in der Mitte ist x + (x - n) + mittleres Quadrat = 2x - n + mittleres Quadrat. Da 2x + 3n = 2x - n + mittleres Quadrat, ist das mittlere Quadrat 4n groß. Wäre n gleich 2, hätten wir zwei Quadrate der Größe 8. Wäre n gleich 3 oder größer, wäre das mittlere Quadrat zu groß. Daher ist n = 1.
Bei x = 8 und n = 1 und der bekannten Größe des Rechtecks von 33 mal 32 erfolgt das Ausfüllen der restlichen Quadrate automatisch.
