Dreiecke mit Dreiecken füllen
Ein gleichseitiges Dreieck hat gleich lange Seiten und gleich große Winkel (es ist gleichseitig und gleichwinklig). Hier erfahren Sie, wie Sie ein großes gleichseitiges Dreieck mit 1, 4 oder 7 gleichseitigen Dreiecken füllen können.
DIE HERAUSFORDERUNG
Finde andere Anzahlen von regelmäßigen Dreiecken, um ein großes regelmäßiges Dreieck zu füllen. Kannst du das für 2, 3, 5, 6, 8, 9 oder 10 regelmäßige Dreiecke tun?
ERKUNDUNG
Wenn möglich, sollten Sie mehr als einen Weg finden, um einige dieser Zahlen zu erhalten.
Notizen
DIE HERAUSFORDERUNG
Hier ist eine systematische Methode, um verschiedene Zählungen zu erstellen.
Quadrate: Ein guter Ausgangspunkt sind Quadratzahlen. Es ist einfach, ein Dreieck mit 1-, 4- und 9-Dreiecken zu füllen, indem man das regelmäßige Muster aus der folgenden Abbildung verwendet.
Gerade Zahlen: Nach einigem Ausprobieren lassen sich Muster für 6, 8, 10 oder jede andere größere gerade Zahl wie folgt erstellen. Beginnen Sie mit einem großen Dreieck und fügen Sie dann kleinere Dreiecke an einer Seite hinzu.
Ersetzen eines Dreiecks: Der nächste wichtige Schritt besteht darin zu erkennen, dass jedes Dreieck einer Lösung durch ein beliebiges anderes Dreieck ersetzt werden kann. Dies wurde beispielsweise bei der Erstellung des Musters für die Zahl 7 in der Einleitung demonstriert – das mittlere Dreieck für die Zahl „4“ wurde durch vier kleinere Dreiecke ersetzt, um die Zahl „7“ zu erzeugen.
Wird ein Dreieck durch vier Dreiecke ersetzt, erhöht sich die Gesamtzahl der Dreiecke um 3. Wir beginnen mit der Liste der Lösungen mit Quadratzahlen und geraden Zahlen: 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 und 16. Addiert man zu jedem Eintrag dieser Liste 3, erhält man 4, 7, 9, 11, 12, 13, 15 und 17. Kombiniert man diese beiden Listen, erhält man alle Möglichkeiten bis 17: 1, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 und 17. Mit diesen Überlegungen lassen sich alle Zahlen über 17 leicht berechnen, und so gelangen wir zu dem Schluss:
Antwort: Alle Zahlen sind möglich, außer 2, 3 und 5.
ERKUNDUNG
Manche dieser Zahlen lassen sich auf mehrere Arten darstellen. Beispielsweise kann die 9 als 3x3-Muster oder als 6 plus 3 dargestellt werden. Natürlich gibt es noch weitere interessante Möglichkeiten, ein Dreieck auszufüllen, die es zu entdecken gilt.