Quadrate finden – 1
In diesem Raster sind rot eingezeichnet zwei 1x1-Quadrate und ein 2x2-Quadrat mit horizontalen und vertikalen Seiten.
DIE HERAUSFORDERUNG
Ermitteln Sie die Anzahl der Quadrate aller Größen mit horizontalen und vertikalen Seiten in diesem Gitter.
ERKUNDUNG
Experimentiere mit noch größeren Gittern. Kannst du eine systematische Methode finden, um alle Quadrate zu zählen? Wie ändert sich deine Antwort, wenn das Punktgitter ein Rechteck und kein Quadrat ist?
Notizen
DIE HERAUSFORDERUNG
Die möglichen Quadrate haben Seitenlängen von 1 bis 4.
Betrachten Sie für jede Quadratgröße die obere linke Ecke als Startposition. Sie können alle Quadrate dieser Größe im Gitter erzeugen, indem Sie dieses Startquadrat verschieben. Sie können es entweder nach rechts oder um die verbleibende Anzahl an Positionen nach unten verschieben. Dies sind unabhängige Entscheidungen, daher erhalten Sie Quadrat dieser Größe.
Nehmen wir beispielsweise an, Sie zählen die 1x1-Quadrate in diesem 4x4-Gitter. Ein 1x1-Quadrat in der oberen linken Ecke kann um 1 oder 2 Felder nach rechts und um 1 oder 2 Felder nach unten verschoben werden. Es gibt also 3 mögliche Positionen horizontal (einschließlich der ursprünglichen Position) und 3 mögliche Positionen vertikal. Somit gibt es 3x3 dieser 1x1-Quadrate.
Für das ursprüngliche 4x4-Gitterproblem ergibt sich folgende Zählung:
- 1 mal 1 Quadrate: 3 x 3 = 9
- 2 mal 2 Quadrate: 2 x 2 = 4
- 3 mal 3 Quadrate: 1 x 1 = 1.
Es gibt insgesamt 3 x 3 + 2 x 2 + 1 x 1 = 9 + 4 + 1 = 14 mögliche Quadrate.
ERKUNDUNG
Bei jedem quadratischen Gitter entspricht die Gesamtzahl der Quadrate der Summe der Quadratzahlen, die kleiner als die Gittergröße sind. Beispielsweise hat ein 7x7-Gitter 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 91 Quadrate.
Rechteckige Gitter lassen sich fast genauso einfach zählen. Die kleinere der beiden Seiten des Rechtecks begrenzt die maximale Größe der möglichen Quadrate. Zählen Sie sie ähnlich wie bei quadratischen Gittern. Anstatt den allgemeinen Fall zu betrachten, sehen wir uns nur ein Beispiel an.
Angenommen, Sie zählen die Quadrate in einem 5x7-Gitter. Da es nur 5 Zeilen gibt, kann kein Quadrat größer als 4x4 sein.
- 1 mal 1 Quadrate: 4 x 6 = 24
- 2 mal 2 Quadrate: 3 x 5 = 15
- 3 mal 3 Quadrate: 2 x 4 = 8
- 4 mal 4 Quadrate: 1 x 3 = 3
Die Gesamtzahl der Quadrate beträgt 24 + 15 + 8 + 3 = 50.