Händeschütteln auf einer Party – 1
Zehn Personen waren auf einer Party. Es wurde viel Hand geschüttelt. Auf die Frage, wie viele Hände jede Person geschüttelt hatte, lauteten die Antworten: 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6 und 8. Als dies der Gruppe mitgeteilt wurde, rief jemand: „Das ist unmöglich!“
DIE HERAUSFORDERUNG
Hatte die Person Recht, hat sich jemand beim Zählen der Hände verzählt? Woher weiß man das?
ERKUNDUNG
Untersuchen Sie die Zählweise beim Händeschütteln genauer und erstellen Sie eine kurze Liste möglicher Zählweisen.
und einige, die unmöglich sind.
Notizen
DIE HERAUSFORDERUNG
Eine interessante Eigenschaft von Händedrücken ist ihre Gegenseitigkeit – wenn ich Ihnen die Hand schüttle, schütteln Sie mir auch die Hand. Diese Eigenschaft findet sich auch in anderen Kontexten wieder, beispielsweise in Freundschaften, die auf Gegenseitigkeit beruhen.
Aufgrund dieser Eigenschaft von Händedrücken wird beim Zusammenzählen aller Händedrücke einer Veranstaltung jeder Händedruck doppelt gezählt, einmal für jede Seite. Folglich müsste die Summe aller Händedrücke gerade sein. Addiert man 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6 und 8, ergibt sich 47, also eine ungerade Zahl. Hier muss ein Fehler vorliegen!
ERKUNDUNG
Aus dem eben Besprochenen ergibt sich, dass die Summe der Zählungen gerade sein muss, damit eine Sammlung möglich ist. Eine weitere offensichtliche Voraussetzung ist, dass jede einzelne Zählung kleiner sein muss als die Gesamtzahl der Personen (niemand schüttelt sich selbst die Hand).
Diese beiden Bedingungen reichen jedoch nicht aus. Betrachten wir beispielsweise die Zahlenfolge 4, 4, 4, 4, 2. Von diesen fünf Personen haben vier allen anderen die Hand geschüttelt, daher kann die letzte Person nicht nur zwei Händedrücke haben. Ebenso ist die Zahlenfolge 4, 4, 4, 3, 3 zwar möglich, die Zahlenfolge 4, 4, 4, 2, 2 jedoch nicht.
In „Handshakes at a Party – 2“ werden wir sehen, dass die Handshake-Liste 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 unmöglich ist, obwohl ihre Summe gerade ist.
Dies lässt dem interessierten Studenten viel Raum für weitere Erkundungen.