Produkt gleich Summe
DIE HERAUSFORDERUNG
Angenommen, Sie haben fünf positive ganze Zahlen A, B, C, D und E, sodass Folgendes gilt: Welchen größtmöglichen Wert kann eine dieser Zahlen annehmen?
A x B x C x D x E = A + B + C + D + E
ERKUNDUNG
Was würde passieren, wenn man in dieser Art von Gleichung eine andere Anzahl von Zahlen hätte?
Notizen
DIE HERAUSFORDERUNG
Während Sie das Problem betrachten, erkennen Sie, dass Sie sich einen Vorteil verschaffen wollen, da die Summe bei steigenden Zahlen nicht annähernd so schnell wächst wie das Produkt. Eine einfache Möglichkeit besteht darin, die Summe wie folgt in ein Produkt umzuwandeln.
Angenommen, die Zahlen A, B, C, D und E sind in absteigender Reihenfolge angeordnet, wobei A den größten Wert hat (A kann auch gleich groß sein). Dann gilt: A + B + C + D + E ≤ 5A. Folglich ist A × B × C × D × E = A + B + C + D + E ≤ 5A. Daher haben wir B × C × D × E ≤ 5. Da es sich um ganze Zahlen handelt, bleiben uns nur sehr wenige Möglichkeiten!
Diese werden jeweils in der Reihenfolge B, C, D, E aufgelistet.
- 5, 1, 1, 1: Dann ist A × 5 × 1 × 1 × 1 = A + 5 + 1 + 1 + 1, also 5A = A + 8. Das würde bedeuten, dass A gleich 2 ist, was nicht möglich ist, da A der größte Wert sein soll.
- 4, 1, 1, 1: Dann ist A x 4 x 1 x 1 x 1 = A + 4 + 1 + 1 + 1, also 4A = A + 7. Das würde bedeuten, dass 3A = 7, was unmöglich ist.
- 3, 1, 1, 1: Dann ist A × 3 × 1 × 1 × 1 = A + 3 + 1 + 1 + 1, also 3A = A + 6. Daraus folgt 2A = 6, also A = 3. Die Lösung lautet somit 3 × 3 × 1 × 1 × 1 = 3 + 3 + 1 + 1 + 1 = 9.
- 2, 1, 1, 1: Dann ist A × 2 × 1 × 1 × 1 = A + 2 + 1 + 1 + 1, also 2A = A + 5. Das würde bedeuten, dass A = 5. Daraus ergibt sich die Lösung 5 × 2 × 1 × 1 × 1 = 5 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10.
- 1, 1, 1, 1: Dann A x 1 x 1 x 1 x 1 = A + 1 + 1 + 1 + 1, also A = A + 4, was unmöglich ist.
● 2, 2, 1, 1: Dann ist A × 2 × 2 × 1 × 1 = A + 2 + 2 + 1 + 1, also 4A = A + 6. Das würde bedeuten, dass A = 2. Daraus ergibt sich die Lösung 2 × 2 × 2 × 1 × 1 = 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 8.
Somit gibt es drei Lösungen: 3, 3, 1, 1, 1; 5, 2, 1, 1, 1; und 2, 2, 2, 1, 1. Die größte Zahl, die in einer dieser Lösungen vorkommt, ist 5.
ERKUNDUNG
Eine sehr ähnliche Analyse lässt sich für jede beliebige Anzahl von Zahlen durchführen. Mit größeren Zahlen steigt auch der Analyseaufwand.
Für 2, 3 und 4 Zahlen erhalten wir:
- 2 x 2 = 2 + 2
- 3 x 2 x 1 = 3 + 2 + 1
- 4 x 2 x 1 x 1 = 4 + 2 + 1 + 1
Über diese konkreten Antworten hinaus wird nach der Durchführung einer Reihe von Beispielen deutlich, dass bei n Zahlen die größte Zahl immer „n“ ist, die mit der Lösung nx 2 x 1 x 1 x … x 1 = n + 2 + 1 + 1 + … + 1 verbunden ist.