Trapezförmige Zahlen – 5
Trapezzahlen sind die Summe zweier oder mehrerer aufeinanderfolgender Zahlen. Sie verdanken ihren Namen der Tatsache, dass man mit so vielen Punkten ein Trapez bilden kann, wie in den Beispielen unten dargestellt. Beachten Sie, dass ein einzelner Punkt in der obersten Reihe die Definition eines Trapezes etwas dehnt, aber für diese Zahlen zulässig ist.
DIE HERAUSFORDERUNG
Finde eine Zahl zwischen 100 und 200, die keine Trapezzahl ist.
ERKUNDUNG
Trapezförmige Zahlen sind ein Beispiel für sogenannte figurative Zahlen. Figur
Nummer ist eine Zahl, die, wenn so viele Punkte in einem bestimmten Muster angeordnet werden, eine interessante Figur ergibt oder
Dreieckszahlen und Quadratzahlen sind zwei weitere Beispiele für figurative Zahlen. Fallen dir welche ein?
Gibt es andere Formen von Punktgruppen, die die Bezeichnung Figurate Zahl verdienen würden?
Notizen
DIE HERAUSFORDERUNG
In den Notizen zu „Trapezzahlen – 4“ haben wir alle Möglichkeiten untersucht, die Zahlen von 1 bis 20 als Summen aufeinanderfolgender Zahlen darzustellen. Nach der Betrachtung dieser Daten stellten wir die folgende Vermutung auf:
Vermutung: Die Anzahl der Möglichkeiten, eine Zahl als Summe aufeinanderfolgender Zahlen zu schreiben, ist gleich der Anzahl der ungeraden Teiler größer als 1 der Zahl.
Betrachten wir, warum diese Vermutung zutrifft. Angenommen, die Zahl, die wir untersuchen, ist n, und a = 2m + 1 ist ein Teiler von n, sodass a × b = n für eine Zahl b gilt. Es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten, diese Information zu nutzen, um eine Menge aufeinanderfolgender Zahlen zu erstellen, deren Summe n ergibt. Eine davon ist, wenn …
Die Zahl 18 mit ihren beiden ungeraden Teilern 3 und 9 eignet sich gut, um die zwei Möglichkeiten zu veranschaulichen, eine Menge aufeinanderfolgender Zahlen zu bilden, deren Summe eine Zahl ergibt.
Da 18 einen ungeraden Teiler (3) hat, gilt: 3 × 6 = 18. Zuerst werden drei Reihen mit je sechs Punkten erstellt. Wie in der Abbildung gezeigt, bleibt die mittlere Reihe unverändert. Aus den oberen Reihen wird jeweils ein Dreieck aus (roten) Punkten entfernt (in diesem Fall nur ein Punkt). Dieses Dreieck wird dann an die Enden der unteren Reihen verschoben. 18 = 5 + 6 + 7.
Da 18 einen ungeraden Teiler 9 hat, gilt: 9 × 2 = 18. Zuerst werden neun Spalten mit je zwei Punkten erstellt. Wie in der Abbildung gezeigt, wird, wobei die mittlere Spalte unverändert bleibt, ein Trapez aus (roten) Punkten von der rechten Seite genommen und so gedreht, dass es über den Spalten links von der mittleren Spalte liegt. 18 = 3 + 4 + 5 + 6.
Die einzigen Zahlen ohne ungerade Teiler sind Zweierpotenzen. Da sie keine ungeraden Teiler haben, sind die Zweierpotenzen die einzigen Zahlen, die keine Trapezzahlen sind.
Die Lösung dieser Herausforderung besteht also darin, eine Zweierpotenz zwischen 100 und 200 zu finden. Die einzige solche Zahl ist 128, also 2 hoch 2.
ERKUNDUNG
Anstatt den Stoff zu wiederholen, informieren Sie sich bitte im Internet über figurate Zahlen und Polygonalzahlen. Wikipedia bietet gute Einführungsartikel zu beiden Themen.