Calculadora rota – 2
Tienes una calculadora que está muy estropeada. Sus únicas teclas que funcionan son el 4, el 7 y el +. Con esta capacidad limitada, aún es posible formar ciertos números. Por ejemplo:
15 = 7 + 4 + 4
25 = 7 + 7 + 7 + 4.
EL RETO
Esta calculadora no puede generar los números 1, 2, 3, 5 y 6. Encuentra el número más grande que esta calculadora no puede generar.
EXPLORACIÓN
Sustituye el 4 y el 7 por otros pares de números. Describe algunos patrones que observes.
Notas
EL DESAFÍO Y LA EXPLORACIÓN
Esto es más complicado que lo que sucede en "Calculadora rota - 1". El teorema matemático involucrado se conoce cariñosamente como el Teorema McNugget. Supongamos que tenemos dos números primos relativos n y m, es decir, su máximo común divisor es 1. El teorema dice que se puede obtener exactamente la mitad de los números del 1 al (n - 1) x (m - 1) como sumas de múltiplos positivos de n y m, y que a partir de (n - 1) x (m - 1) se puede obtener cualquier número posterior.
Aplicando este teorema a 4 y 7, sabemos que podemos generar la mitad de los números hasta (4 – 1) x (7 – 1) = 18, y que a partir de ahí podemos generar todos los números. Veamos cómo funciona esto en este caso particular.
- 1 = Imposible
- 2 = imposible
- 3 = imposible
- 4 = 4
- 5 = imposible
- 6 = imposible
- 7 = 7
- 8 = 4 + 4
- 9 = imposible
- 10 = imposible
- 11 = 4 + 7
- 12 = 4 + 4 + 4
- 13 = imposible
- 14 = 7 + 7
- 15 = 4 + 4 + 7
- 16 = 4 + 4 + 4 + 4
- 17 = imposible
- 18 = 4 + 7 + 7
Sin necesidad de comprender teorías numéricas complejas, el explorador intrépido podría observar que la mitad de los números del 1 al 18 son posibles y la otra mitad son imposibles. También podría notar el patrón de que x es posible precisamente cuando 17 – x es posible.
Otro patrón a tener en cuenta es que cualquier múltiplo común de los dos números divide todas las sumas de sus múltiplos. Esto significa que si los dos números tienen un múltiplo común mayor que 1, habrá una cantidad infinita de números que la calculadora no podrá generar. Por ejemplo, la combinación de 4 y 6 nunca dará como resultado un número impar.