Calculadora rota – 1
Tienes una calculadora que está muy estropeada. Sus únicas teclas que funcionan son 4, 7, + y -. Aun con esta capacidad limitada, es posible formar cualquier número. Por ejemplo:
1 = 4 + 4 - 7
2 = 4 + 4 + 4 + 4 – 7 – 7
EL RETO
Demuestra que esta calculadora puede generar todos los números del 1 al 12.
EXPLORACIÓN
Sustituye el 4 y el 7 por otros pares de números. ¿Cuándo es posible obtener todos los números del 1 al 12 y cuándo es imposible? ¿Puedes observar un par de números y predecir qué sucederá?
Notas
EL RETO
Los estudiantes están experimentando con todos los números que se pueden obtener al sumar cualquier múltiplo de 4 a cualquier múltiplo de 7. Sin que se les diga esto, están analizando el teorema de Bézout. Este teorema establece que todas las combinaciones posibles de los múltiplos (tanto positivos como negativos) de dos números son el conjunto de múltiplos del máximo común divisor (máximo común divisor) de ambos números. El máximo común divisor de 4 y 7 es 1, por lo que deberíamos poder obtener todos los números posibles. Además, habrá un número infinito de maneras de obtener cada uno de ellos.
Aquí hay algunos ejemplos para los números del 1 al 12:
- 1 = 4 + 4 – 7 = 9 x 4 – 5 x 7 = 16 x 4 – 9 x 7
- 2 = 7 + 7 – 4 – 4 – 4 = 6 x 7 – 10 x 4 = 10 x 7 – 17 x 4
- 3 = 7 – 4 = 5 x 7 – 8 x 4 = 9 x 7 – 15 x 4
- 4 = 4 = 4 x 7 – 6 x 4 = 8 x 7 – 13 x 4
- 5 = 3 x 4 – 7
- 6 = 2 x 7 – 2 x 4
- 7 = 7
- 8 = 2 x 4
- 9 = 3 x 7 – 3 x 4
- 10 = 2 x 7 – 4
- 11 = 4 + 7
- 12 = 3 x 4
Una vez que tienes una combinación para el máximo común divisor, puedes usarla para obtener cualquier múltiplo del máximo común divisor. Para 4 y 7, una forma de obtener 1 es como 2 x 4 – 7. Podemos obtener cualquier otro número, como 23, escribiendo 23 = 23 (2 x 4 – 7) = 46 x 4 – 23 x 7. Una vez que tenemos una solución para un número, podemos obtener todas las demás soluciones sumándole 0 (sé que suena raro). Por ejemplo, tenemos 1 = 2 x 4 – 7 = (2 x 4 – 7) + (7 x 4 – 4 x 7) = 9 x 4 – 5 x 7). Podemos sumar cualquier múltiplo que queramos de (7 x 4 – 4 x 7) y no cambiará el valor.
EXPLORACIÓN
Como se mencionó anteriormente, este proceso generará exactamente todos los múltiplos del máximo común divisor de los dos números. Si dicho máximo común divisor es 1, se generarán todos los números.
Tomemos como ejemplo el 4 y el 6. Su máximo común divisor es 2. Cualquier combinación de múltiplos de 4 y 6 siempre será par, por lo que es imposible obtener todos los números. Esto se hace más evidente si consideramos el 4 y el 6 como el 2 multiplicado por el 2 y el 3. Sabemos que la suma de los múltiplos de 2 y 3 produce todos los números porque son primos entre sí. Sin embargo, al multiplicar cada una de esas sumas por 2, ¡obtenemos todos los múltiplos de 2!