Octobre 2026

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En tant que formateur d'enseignants de mathématiques, je travaille régulièrement avec des enfants du CP jusqu'aux étudiants universitaires, et je prends beaucoup de plaisir à proposer les énigmes « Weekly Wonder » chaque semaine. Je me suis inscrit à toutes ! Même si certaines énigmes sont destinées aux élèves de maternelle et de CP, je les trouve amusantes pour tous les âges… elles sont suffisamment accessibles pour qu'un enfant de maternelle puisse s'y essayer. Il existe de formidables liens entre les différents niveaux scolaires, et des thèmes se développent de semaine en semaine. Un élève qui apprécie une énigme peut même proposer des prolongements. Essayez-les ! – pour vos élèves ou pour vous-même ! – John Golden, professeur de mathématiques à GVSU.

Rep-tiles

Il existe de nombreuses façons ludiques pour les enfants d'explorer le remplissage de formes avec des formes plus petites. Généralement, il s'agit de polygones, mais ce n'est pas une obligation.

Les plus jeunes peuvent utiliser des blocs de construction pour créer des motifs et des formes libres. Ils peuvent même relever des défis techniques comme trouver le nombre de façons de remplir un grand triangle ou hexagone avec ces blocs. On peut faire la même chose avec des tangrams ou des pentominos. Le pavage de surfaces planes avec un ou plusieurs types de formes (appelé pavage) est une autre piste à explorer. J'ai abordé certains de ces sujets dans notre bulletin de décembre 2024.

Dans cette lettre d'information, je souhaite explorer ce qui se passe lorsqu'on remplit une forme avec des versions plus petites d'elle-même. Lorsque cela est possible, la forme est appelée « rep-tile » – je dois avouer que les mathématiciens ont un humour particulier. Le rep-tile « Sphinx » est illustré ci-dessus avec quatre copies de lui-même qui le remplissent.

Pour un pavage à motifs géométriques, les pavages réguliers sont ceux où toutes les formes ont la même taille, les pavages irréguliers sont ceux qui ne sont pas réguliers, et les pavages parfaits sont des pavages irréguliers où aucune paire de formes n'a la même taille.

Nous n'examinerons que des exemples adaptés aux enfants, où les dimensions des pièces sont des multiples entiers les unes des autres.

Assez de définitions et de descriptions, passons à quelques exemples.

Carrés, rectangles et triangles réguliers

On peut se poser de nombreuses questions amusantes sur le remplissage de tuiles à motifs de reptiles. Beaucoup d'entre elles figurent déjà parmi les énigmes de la semaine d'EFM. Nous irons aussi plus loin en étudiant comment remplir un carré avec des rectangles, ou un rectangle avec des carrés.

Sujet 1 : Si vous remplissez un carré avec des carrés, combien de carrés sont possibles ? Que se passe-t-il pour les pavages réguliers, irréguliers et parfaits ?

La question du nombre de carrés pouvant apparaître dans des pavages irréguliers est au cœur du casse-tête EFM « Remplir des carrés avec des carrés ». Si un jeune enfant peut la comprendre, sa résolution exige patience et persévérance de la part d'un enfant un peu plus âgé, ou au moins l'aide d'un adulte. Les pavages parfaits sont très difficiles à trouver. Je vous laisse le soin d'explorer tous les pavages réguliers d'un carré.

Sujet 2 : Si l’on remplit un triangle régulier avec de tels triangles, combien de triangles sont possibles ? Que se passe-t-il pour les pavages réguliers, irréguliers et parfaits ?

De façon assez surprenante, cela ressemble beaucoup à ce qui se passe pour les carrés dans le thème 1. La question du nombre de triangles réguliers pouvant apparaître est le problème EFM « Remplir les triangles avec des triangles » .

Sujet 3 : Pouvez-vous déterminer la taille des carrés à partir d’un dessin d’un rectangle rempli de carrés ?

Trouver des façons de remplir un carré ou un rectangle avec des carrés de tailles différentes (pavages parfaits) peut s'avérer très complexe (pour tout le monde). Voici quelques excellentes ressources sur le sujet. L'article Wikipédia « La quadrature du carré » propose une superbe collection d'illustrations, de descriptions et de références pour décomposer les carrés de multiples manières. Pour une collection encore plus impressionnante, consultez « Squaring.net » et découvrez une multitude d'idées sur ce sujet.

Cependant, déterminer les dimensions des carrés à partir d'un dessin existant est beaucoup plus simple et peut constituer un casse-tête amusant. Pour deux exemples de ce type, consultez les casse-têtes de la semaine d'EFM : « Rectangles parfaits – 1 » et « Rectangles parfaits – 2 ».

Sujet 4 : Pouvez-vous remplir un carré de rectangles de manière à minimiser la différence entre les aires du plus grand rectangle et du plus petit ? Il s’agit du puzzle artistique Mondrian créé par Gordon Hamilton.

Cette question est un puzzle EFM intitulé « Remplir des carrés avec différentes boîtes ». L'un des aspects amusants de ce puzzle est que vous pouvez toujours y revenir pour essayer d'améliorer votre travail précédent, et il y a beaucoup de place pour discuter d'idées avec d'autres.

Plus de Rep-tiles

Il est temps maintenant de s'amuser avec des rep-tiles plus exotiques. Il existe tellement de formes de rep-tiles que je ne peux pas toutes les aborder. Vous trouverez ci-dessous quelques exemples plus simples, adaptés aux enfants. Pour un catalogue plus complet, consultez la page Wikipédia sur les formes de « rep-tiles ». Les rep-tiles étant un sujet relativement nouveau pour moi, les questions suivantes ne font pas partie de la collection « Casse-têtes de la semaine » d'EFM.

Sujet 5 : Si vous remplissez une forme en L composée de 3 carrés avec des formes en L plus petites, combien de formes en L sont possibles ?

Compter les formes en L à 3 carrés possibles est un peu plus complexe que pour les carrés et les triangles des thèmes 1 et 2. Laissez votre enfant s'exercer avant de lui montrer les schémas ci-dessus.

D'après ces images, nous savons que 1, 4 et 9 sont tous possibles. En utilisant la version 4, nous pouvons remplacer n'importe quelle forme en L par 4, ce qui nous indique que tout nombre de la forme 1 + 3n est possible. De même, le diagramme 9 nous indique que tout nombre de la forme 1 + 8m est possible. En combinant les deux idées, nous comprenons que tout nombre de la forme 1 + 3n + 8m est possible. Demandez à votre enfant quel est le plus petit nombre pour lequel il n'y a plus d'espace vide dans le pavage ; c'est ce qu'on appelle affectueusement le problème des nuggets de poulet.

Sujet 6 : Si vous remplissez une forme en L composée de 4 carrés avec des formes en L plus petites, combien de formes en L sont possibles ? Voici trois exemples.

Sujet 7 : Si vous remplissez une forme Utah à 5 carrés (un carré 2 par 2 avec un carré 1 par 1 au-dessus) avec des formes Utah plus petites, combien de formes Utah sont possibles ?

Thème 8 : Tous les triangles sont des pavages. Une façon de le démontrer est de relier les milieux de n’importe quel triangle pour le diviser en quatre copies plus petites de lui-même.

Voici deux exemples de pavages composés de triangles rectangles dont deux côtés sont des nombres entiers. Les triangles de la première rangée ont des côtés de 1 – √3 – 2, et ceux de la seconde rangée ont des côtés de 1 – 2 – √5. D'autres triangles rectangles permettent de créer des pavages intéressants, mais en général, cela dépasse le cadre technique d'un élève de primaire.

Emballer

J'espère que vous avez apprécié jouer avec ces tuiles à motifs de reptiles et que vous explorerez d'autres possibilités. Dans mes prochaines newsletters, nous verrons comment créer des formes ludiques en pliant, découpant ou tissant des morceaux de papier de différentes manières. J'ai hâte d'approfondir ces techniques et de les explorer ensemble !