Sommes égales – 3
LE DÉFI
Voici un diagramme formé par la superposition de trois cercles. Ces cercles superposés créent sept régions. Inscrivez un nombre dans chacune des sept régions, en utilisant chaque nombre de 1 à 7 une seule fois, de sorte que la somme des nombres dans chaque cercle soit identique.
EXPLORATION
Combien de réponses différentes pouvez-vous trouver ? Comment savez-vous que vous les avez toutes trouvées ?
Remarques
LE DÉFI ET L'EXPLORATION
La première question que pose ce type de problèmes est de déterminer les sommes possibles dans les cercles. Pour y remédier, considérons la somme des éléments de deux manières. Soient A, B et C les trois valeurs où deux cercles se croisent, M la valeur où les trois cercles se croisent, et Somme la somme commune à chaque cercle. La somme des trois cercles est égale à 3 × Somme. Cette somme est également égale à la somme des nombres de 1 à 7 plus A + B + C plus 2 × M. Par conséquent, 3 × Somme = 28 + A + B + C + 2 × M.
Avant d'aller plus loin, notez que, quelle que soit la solution initiale, on peut en obtenir une nouvelle en soustrayant tous ses termes de 8. Cela revient à remplacer Somme par 32 – Somme. Par conséquent, il suffit de rechercher les valeurs de Somme jusqu'à 16 ; les valeurs supérieures s'obtiennent en soustrayant les termes correspondants de 8.
La plus petite valeur possible de A + B + C + 2 × M est 2 + 3 + 4 + 2 × 1 = 11. Donc, la plus petite somme possible est (28 + 11) / 3 = 13. Par conséquent, nous voulons déterminer quelles valeurs de la somme comprises entre 13 et 16 sont possibles. Il s'avère qu'elles le sont toutes.
Voici une solution pour chaque valeur de la somme, de 13 à 16. Il en existe beaucoup d'autres.
