Dominó a sakktáblán
E két sakktábla közül az elsőt könnyű dominóval lefedni. A másodikat, amelyiknek egy négyzete hiányzik, lehetetlen dominóval lefedni.
A KIHÍVÁS
Írd le, miért könnyű az egyik sakktáblát dominóval lefedni, a másikat pedig lehetetlen!
FELFEDEZÉS
Fedezd fel, hogy mely kis négyzetpárokat tudod eltávolítani az eredeti tábláról, és továbbra is pontosan befedni a megmaradt táblát dominókkal.
Megjegyzések
A KIHÍVÁS
Két képletet kell megvizsgálnunk ebben a rejtvényben.
Az első az, hogy a rendelkezésre álló négyzetek száma páros vagy páratlan. Mivel egy dominónak páros számú négyzete van, minden alkalommal, amikor egy dominót letesznek a táblára, a rendelkezésre álló négyzetek száma páros számmal csökken. Tehát, ha a dominó előtt páros számú négyzet lenne elérhető, akkor a dominó után is páros számú lesz, és ha a dominó előtt páratlan számú négyzet lenne, akkor is páratlan lesz.
Az első oldal tetején található bevezető példákban az első példa páros számú négyzetet tartalmaz, tehát numerikusan lehetséges 0 négyzettel befejezni (ami páros szám). A második példa páratlan számú négyzettel kezdődik, tehát lehetetlen, hogy dominókkal lefedjük.
A második képlet a sötét és a világos négyzetek számának különbsége. Amikor egy dominót leteszünk a táblára, az lefed egy sötét és egy világos négyzetet, így a számok különbsége ugyanaz marad. Például a különbség 8 – 6 = 2 a dominók lerakása előtt (az első kihívástáblát nézve), és 7 – 5 = 2 lesz a dominó lerakása után. Az ilyen képletet, amely nem változik a játék vagy a rejtvény lépései során, invariánsnak nevezzük.
Mivel az első kihívástáblán a különbség 8 – 6 = 2-nél kezdődik, soha nem lehet teljesen dominókkal lefedni (ami 0 – 0 = 0 különbséget eredményezne).
A második tábla 7 – 7 = 0 különbséggel kezdődik, tehát van esély rá, hogy le lehet fedni. Valójában elég könnyű a második táblát dominókkal lefedni.
FELFEDEZÉS: A sötét és fehér négyzetek különbségének kiszámítása sokat elárul arról, hogy mely táblákat nem lehet lefedni. Az egyetlen esély a sikerre a 0 különbség. Ha négy négyzetet eltávolítanál, lehetséges, hogy 0 különbséget kapsz, és mégsem tudod lefedni a fennmaradó négyzeteket – ez akkor történik, amikor az egyik saroknégyzet elszigeteltté válik. Általánosságban elmondható azonban, hogy ha a különbség 0, akkor szinte mindig le tudod fedni a táblát dominókkal.