Háromszögek kitöltése háromszögekkel
Egy szabályos háromszög olyan, amelynek oldalai és szögei egyenlőek (egyenlő oldalú és egyenlőszögű). Így tölthetsz ki egy nagy szabályos háromszöget 1, 4 vagy 7 szabályos háromszöggel.
A KIHÍVÁS
Keress más szabályos háromszögek kitöltési lehetőségeit egy nagy szabályos háromszög kitöltéséhez. Meg tudod csinálni 2, 3, 5, 6, 8, 9 vagy 10 szabályos háromszöggel?
FELFEDEZÉS
Ha lehetséges, próbálj meg több módszert is találni ezen számok némelyikének megszerzésére.
Megjegyzések
A KIHÍVÁS
Íme egy szisztematikus módszer a különféle számlálások felépítésére.
Négyzetek: Jó kiindulópont a négyzetszámok. Könnyű egy háromszöget kitölteni 1-es, 4-es és 9-es háromszögekkel, ha a következő ábrán látható szabályos mintával kitöltjük.
Páros számok: Némi kísérletezés után a következőképpen hozhatsz létre mintákat a 6-os, 8-as, 10-es vagy bármilyen más nagyobb páros számhoz. Kezdj egy nagy háromszöggel, majd tegyél kisebb háromszögeket az egyik oldalra.
Egy háromszög cseréje: A következő nagy lépés annak belátása, hogy egy megoldásban bármely háromszög helyettesíthető bármely más meglévő megoldással. Például ezt tették meg a bevezetőben szereplő 7-es megoldás mintájának elkészítésekor – a „4”-eshez tartozó középső háromszöget négy kisebb háromszöggel cserélték le, így kapták a „7”-est.
Amikor egy háromszöget négy háromszöggel helyettesítünk, az 3-mal növeli a háromszögek teljes számát. Kezdjük a megoldások listájával négyzetszámok és páros számok felhasználásával: 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 és 16, majd adjunk hozzá 3-at a lista minden eleméhez, így kapjuk a 4, 7, 9, 11, 12, 13, 15 és 17 számokat. E két lista kombinálása adja az összes lehetőséget 17-ig: 1, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 és 17. Ezeket az elveket felhasználva, minden 17 feletti szám elég könnyű, így a következő következtetésre jutunk:
Válasz: Minden szám lehetséges, kivéve a 2-t, a 3-at és az 5-öt.
FELFEDEZÉS
Ezen számok némelyike többféleképpen is előállítható. Például a 9 előállítható 3x3-as mintázatban, vagy 6-os plusz három mintázatban. Természetesen vannak más érdekes módok is a háromszög kitöltésére, amelyeket felfedezhetünk.