Négyzetek keresése – 1
Ebben a rácsban pirossal rajzoltak két 1x1-es és egy 2x2-es négyzetet vízszintes és függőleges oldalakkal.
A KIHÍVÁS
Határozd meg a négyzetek számát ebben a rácsban, függetlenül a vízszintes és függőleges oldalú négyzetek méretétől.
FELFEDEZÉS
Játssz még nagyobb rácsokkal. Tudsz felfedezni egy szisztematikus módszert az összes négyzet megszámolására? Hogyan változik a válaszod, ha egyáltalán változik, ha a pontok rácsa egy téglalap, ami nem négyzet?
Megjegyzések
A KIHÍVÁS
A lehetséges négyzetek oldalhossza 1-től 4-ig terjed.
Minden négyzetmérethez a bal felső sarkot tekintsd kiindulópontnak. Az összes ekkora négyzetet a rácsban úgy hozhatod létre, hogy ezt a kezdőnégyzetet eltolod. Lehetőséged van jobbra vagy lefelé mozgatni a fennmaradó pozíciók számán belül. Ezek független választási lehetőségek, így a következőt kapod: az adott méretű négyzet négyzetének négyzete.
Például tegyük fel, hogy 1 x 1-es négyzeteket számolunk ebben a 4 x 4-es rácsban. A bal felső sarokban lévő 1 x 1-es négyzet 1 vagy 2 hellyel jobbra, és 1 vagy 2 hellyel lefelé tolható. Tehát 3 lehetséges pozíció van vízszintesen (az eredeti pozíciót számolva) és 3 lehetséges pozíció függőlegesen. Így 3 x 3 ilyen 1 x 1-es négyzet van.
Az eredeti 4 x 4-es rácsfeladat esetében ez a következő számlálást adja:
- 1 x 1 négyzet: 3 x 3 = 9
- 2 x 2 négyzet: 2 x 2 = 4
- 3 x 3 négyzet: 1 x 1 = 1.
Összesen 3 x 3 + 2 x 2 + 1 x 1 = 9 + 4 + 1 = 14 lehetséges négyzet van.
FELFEDEZÉS
Bármely négyzetrács esetén a négyzetek teljes száma a rács méreténél kisebb négyzetszámok összege lesz. Például egy 7 x 7-es rácsban 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 91 négyzet lesz.
A téglalap alakú rácsok megszámolása majdnem ilyen egyszerű. A téglalap két mérete közül a kisebb korlátozza a lehetséges négyzetek maximális méretét. Számoljuk meg őket hasonló módon, mint a négyzetrács esetében. Az általános eset helyett nézzünk csak egy szemléltető példát.
Tegyük fel, hogy egy 5 x 7-es rácsban számolod a négyzeteket. Mivel csak 5 sor van, egyetlen négyzet sem lehet nagyobb, mint 4 x 4.
- 1 x 1 négyzet: 4 x 6 = 24
- 2 x 2 négyzet: 3 x 5 = 15
- 3 x 3 négyzet: 2 x 4 = 8
- 4 x 4 négyzet: 1 x 3 = 3
A négyzetek teljes száma 24 + 15 + 8 + 3 = 50.