Teka-teki Minggu Ini

TANTANGAN

Satu hal yang perlu diperhatikan adalah bahwa untuk setiap n, terdapat sejumlah solusi yang terbatas. Jika 1/N = 1/A – 1/B, maka 1/A – 1/N = 1/B > 0. 1/A – 1/N > 0 berarti N > A. Jadi, 1 < A < N, yang berarti terdapat paling banyak N – 2 solusi, dan solusi tersebut dapat ditemukan, meskipun agak rumit, dengan memeriksa semua nilai A dalam rentang tersebut.

Untuk penyebut yang berupa bilangan genap, misalnya 2d, selalu ada 1/2d = 1/d – 1/2d.

Cara lain untuk menghasilkan perbedaan adalah dengan memulai dari rumus penjumlahan. Rumus paling sederhana yang kita miliki adalah 1/n = 1/(n+1) + 1/[n(n+1)]. Ini menjadi 1/(n+1) = 1/n – 1/[n(n+1)]. Versi yang lebih umum dari ini adalah 1/ab = 1/[a(a+b)] + 1/[b(a+b)] yang menjadi 1/[a(a+b)] = 1/ab – 1/[b(a+b)] di mana ab > 1.

Jadi, setiap kali penyebut dapat difaktorkan sebagai a(a+b), dengan a dan b positif dan ab > 1, kita akan memiliki selisih. Secara khusus, karena setiap bilangan n > 2 dapat ditulis sebagai n = 1 x (1 + (n-1)), maka setiap Pecahan Mesir dapat ditulis sebagai selisih setidaknya dalam satu cara. Berikut beberapa contohnya:

• ⅓: a = 1, b = 2 menghasilkan ½ – ⅙
• ¼: a = 1, b = 3 menghasilkan ⅓ – 1/12
• ⅕: a = 1, b = 4 menghasilkan ¼ – 1/20
• ⅙: a = 1, b = 5 menghasilkan ⅕ – 1/30; a = 2, b = 1 menghasilkan ½ – ⅓
• 1/7: a = 1, b = 6 menghasilkan ⅙ – 1/42
• ⅛: a = 1, b = 7 menghasilkan 1/7 – 1/56; a = 2, b = 2 menghasilkan ¼ – 1/8

Ini belum semuanya. Misalnya, kita melewatkan ⅙ = ¼ – 1/12.

Dengan sedikit mempelajari aljabar, untuk a > 1 dan b > a > 1, perhatikan 1/n = 1/a – 1/b = (b – a) / ab. Dengan menghilangkan penyebut, kita peroleh ab = n(ba), dan dengan menyelesaikan persamaan untuk n, kita peroleh n = ab/(ba). Kapan pun kita dapat menemukan nilai a dan b yang membuat persamaan ini berlaku, kita akan dapat menghitung selisihnya.

Mari kita lihat solusi lengkap untuk beberapa contoh dari sudut pandang ini dan lihat apakah kita dapat menemukan pola.

• 3 = 2 x 6 / (6 – 2)
• 4 = 2 x 4 / (4 - 2) = 3 x 12 / (12 – 3)
• 5 = 4 x 20 / (20 – 4)
• 6 = 2 x 3 / (3 – 2) = 3 x 6 / (6 – 3) = 4 x 12 / (12 – 4) = 5 x 30 / (30 – 5)
• 7 = 6 x 42 / (42 – 6)
• 8 = 4 x 8 / (8 – 4) = 6 x 24 / (24 – 6) = 7 x 56 / (56 – 7)

Melihat contoh-contoh ini, tampaknya hanya ada satu solusi ketika n adalah bilangan prima. Mari kita lihat mengapa demikian. Jika n adalah bilangan prima dan a < n, maka n = axb / (b – a) memaksa b menjadi kelipatan n, misalnya b = nx c. Kemudian n = ax nc / (nc – a) mengatakan bahwa ac / (nc – a) = 1, yang berarti ac = nc – a. Menulis ulang ini kita mendapatkan nc = a(c + 1). Karena n adalah bilangan prima, kita memiliki c + 1 = n dan a = c = n – 1. Jadi a = n – 1 dan b = n(n-1) adalah satu-satunya solusi.