Trovare rettangoli nei quadrati
In questa griglia sono disegnati in rosso un rettangolo (quadrato) 1x1, un rettangolo 2x1 e un rettangolo 1x3.
LA SFIDA
Conta il numero di tutti i rettangoli che puoi formare in questa griglia 4x4.
ESPLORAZIONE
Calcola il numero di rettangoli in una griglia 2x2 e in una griglia 3x3. Confronta questi risultati con quello ottenuto per la griglia 4x4. Qual è lo schema che osservi e riesci a spiegarlo?
Note
LA SFIDA E L'ESPLORAZIONE
Lo studente attento troverà 36 rettangoli. La chiave è essere organizzati nel proprio approccio. Ecco il conteggio per ogni tipo di rettangolo:
- 1 x 1 - 9
- 1 x 2 - 6
- 1 x 3 - 3
- 2 x 1 - 6
- 2 x 2 - 4
- 2 x 3 - 2
- 3 x 1 - 3
- 3 x 2 - 2
- 3 x 3 - 1
Sommando tutti questi valori, otteniamo 9 + 6 + 3 + 6 + 4 + 2 + 3 + 2 + 1 = 36 rettangoli. Per griglie n per n, il numero di rettangoli è:
- 2 per 2 – 1 = 12
- 3 per 3 – 9 = 32
- 4 per 4 – 36 = 62
- 5 per 5 – 100 = 102
- 6 per 6 – 225 = 152
Sono tutti quadrati. Quali sono i numeri 1, 3, 6, 10 e 15? Sono i numeri triangolari e rappresentano anche il numero di modi per scegliere due elementi tra n elementi.
Per capire perché questo meccanismo funziona, consideriamo come viene determinato un rettangolo all'interno di un quadrato. Come illustrato in questa figura, ogni rettangolo viene determinato scegliendo i due lati verticali e i due lati orizzontali. E per ogni possibile configurazione dei lati, si ottiene un rettangolo preciso.
Quindi, il numero di rettangoli è uguale al numero di modi per effettuare queste scelte. In una griglia 4x4, ci sono 4 linee verticali e 4 linee orizzontali tra cui scegliere. Il numero di modi per scegliere 2 elementi tra 4 elementi è 6. Quindi il numero di rettangoli è 6 x 6 = 36.
Lo stesso ragionamento vale per altre dimensioni di griglie quadrate
