Kapotte rekenmachine – 2
Je hebt een rekenmachine die helemaal kapot is. De enige toetsen die nog werken zijn 4, 7 en +. Ondanks deze beperkte mogelijkheden kun je toch nog bepaalde getallen maken. Bijvoorbeeld:
15 = 7 + 4 + 4
25 = 7 + 7 + 7 + 4.
DE UITDAGING
Deze rekenmachine kan de getallen 1, 2, 3, 5 en 6 niet maken. Vind het grootste getal dat deze rekenmachine niet kan maken.
EXPLORATION
Vervang 4 en 7 door andere paren getallen. Beschrijf enkele patronen van wat je ziet.
Notes
DE UITDAGING & VERKENNING
Dit is ingewikkelder dan wat er gebeurt in "Broken Calculator – 1". De wiskundige stelling die hierbij betrokken is, wordt liefkozend de McNugget-stelling genoemd. Stel dat je twee relatief priemgetallen n en m hebt – dat wil zeggen, hun grootste gemene deler is 1. De stelling zegt dat je precies de helft van de getallen van 1 tot (n – 1) x (m – 1) kunt produceren als sommen van positieve veelvouden van n en m, en dat je vanaf (n – 1) x (m – 1) elk getal daarna kunt produceren.
Door deze stelling toe te passen op 4 en 7, weten we dat we de helft van de getallen tot en met (4 – 1) x (7 – 1) = 18 kunnen maken, en dat we vanaf dat moment alle getallen kunnen maken. Laten we eens kijken hoe dat in dit specifieke geval werkt.
- 1 = Onmogelijk
- 2 = onmogelijk
- 3 = onmogelijk
- 4 = 4
- 5 = onmogelijk
- 6 = onmogelijk
- 7 = 7
- 8 = 4 + 4
- 9 = onmogelijk
- 10 = onmogelijk
- 11 = 4 + 7
- 12 = 4 + 4 + 4
- 13 = onmogelijk
- 14 = 7 + 7
- 15 = 4 + 4 + 7
- 16 = 4 + 4 + 4 + 4
- 17 = onmogelijk
- 18 = 4 + 7 + 7
Zonder ingewikkelde getaltheorie te begrijpen, zou een onverschrokken ontdekkingsreiziger kunnen opmerken dat de helft van de getallen van 1 tot en met 18 mogelijk is en de andere helft onmogelijk. Hij of zij zou ook het patroon kunnen zien dat x mogelijk is precies wanneer 17 – x mogelijk is.
Een ander opvallend patroon is dat elk gemeenschappelijk veelvoud van de twee getallen alle sommen van de veelvouden van de twee getallen deelt. Dit betekent dat als de twee getallen een gemeenschappelijk veelvoud hebben dat groter is dan 1, er oneindig veel getallen zijn die de rekenmachine niet kan produceren. Combinaties van 4 en 6 zullen bijvoorbeeld nooit een oneven getal opleveren.