Stjerner og løkker inni sirkler
Plasser noen nåler jevnt fordelt rundt en sirkel. Bildet nedenfor viser sirkler med 8 og 9 nåler. Lag en stjerne ved å angi en overhoppingsmengde og feste en farge hyssing fra nål til nål med den overhoppingsmengden. For eksempel hopper det tredje bildet i den første raden med 3 hver gang, og forbinder 0 – 3 – 6 – 1 – 4 – 7 – 2 – 5 – 0. I det eksemplet forbinder én løkke med hyssing alle tallene. I andre eksempler trengtes det flere løkker med hyssing for å inkludere alle tallene.
UTFORDRINGEN
Anta at du har 12 pinner jevnt fordelt rundt en sirkel. For hver mengde pinner du hopper over, finn ut hvor mange løkker med hyssing du trenger og hvor mange tall det vil være i hver løkke med hyssing. Hva legger du merke til med løkkelengdene?
UTFORSKNING
Undersøk hva som skjer med andre antall pinner. Kan du forutsi hva som vil skje med løkkelengdene og antall løkker for et gitt antall pinner og antall hopp?
Merknader
UTFORDRINGEN
For 12 pinner skjer følgende for de forskjellige mengdene av hopp:
Før vi ser på tabellen, er det verdt å merke seg at løkkelengden er den samme for alle løkkene for en gitt overhoppingsmengde.
Et par ting skiller seg ut fra denne tabellen. Kanskje det enkleste er at antall løkker ganger løkkelengden alltid er antall pinner. En annen er at den er symmetrisk rundt «6»-kolonnen.
Hvis du ser på GCD (eller GCF) for antall pinner (12) og antall hopp, vil du legge merke til at det alltid er det samme som antall løkker!
UTFORSKNING
Observasjonene fra Utfordringen bør følges opp.
- For et gitt antall hopp og antall pins, hvorfor er alle løkkene like lange? Start med løkken som starter på 0 og slutter på 0. Hvert tall i løkken som starter på 1 vil være 1 mer enn de i løkken som starter på 0, og dermed vil løkken som starter på 1 ha samme lengde. Den samme logikken gjelder for ethvert startpunkt.
- For et gitt antall hopp og antall pinner, hvorfor er produktet av antall løkker og løkkelengden lik antall pinner? Løkkene kan ikke overlappe hverandre, og de inkluderer alle tallene, så dette resultatet følger enkelt.
- Hvorfor er GCD for antall skippere og antall pinner lik antall løkker? Legg først merke til at alle tallene i løkken som starter på 0 er nøyaktig multipler av GCD. Deretter gjør diskusjonen av punkt (1) det klart at det vil være så mange løkker før løkkene begynner å gjenta innholdet sitt.
- Hvorfor er tabellen symmetrisk om den midterste kolonnen? Denne symmetrien skyldes at GCD er symmetrisk. GCD(n, k) = GCD(n, n – k), hvor n er antall pinner og k er mengden hopp.