Trapestall – 2
Trapestall er summen av to eller flere påfølgende tall. De fortjener navnet sitt fordi du kan lage en trapes med så mange prikker, som vist i eksemplene nedenfor. Merk at det å ha én prikk på øverste rad tøyer ideen om å være en trapes litt, men det er tillatt for disse tallene.
UTFORDRINGEN
100 er et kvadrattall og et trapesformet tall. Finn en gruppe påfølgende tall som summerer seg til 100.
UTFORSKNING
Kan du finne andre måter å legge sammen sammenhengende tall for å få summen 100?
Merknader
UTFORDRINGEN OG UTFORSINGEN
Fordi påfølgende tall danner en aritmetisk sekvens, er formelen for summen av k påfølgende tall som starter ved n kx (n + (n + k – 1)) / 2. Du kan tenke på dette som k ganger gjennomsnittsverdien av alle tallene. Du kan også tenke på det som k ganger medianverdien av denne aritmetiske tallsekvensen.
Hvis 100 = kx (n + (n + k – 1)) / 2, så er 200 = kx (2n + k – 1). Hver måte å faktorisere 200 som et mindre tall ganger et større tall gir oss en mulighet til å vurdere:
- 1 x 200: k = 1, n = 100. Vi trenger minst 2 tall, så k = 1 er umulig.
- 2 x 100: k = 2, n = 49 ½. n må være et heltall, så dette fungerer ikke.
- 4 x 50: k = 4, n = 23 ½. n må være et heltall, så dette fungerer ikke.
- 5 x 40: k = 5, n = 18. 100 = 18 + 19 + 20 + 21 + 22. Bingo!
- 8 x 25: k = 8, n = 9. 100 = 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16. Bingo!
- 10 x 20: k = 10, n = 5 ½. n må være et heltall, så dette fungerer ikke.
Så 100 = 18 + 19 + 20 + 21 + 22 = 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16.