Równe sumy – 3
WYZWANIE
Oto diagram utworzony przez nałożenie na siebie trzech okręgów. Nakładające się okręgi tworzą siedem obszarów. Wpisz liczbę w każdy z siedmiu obszarów, używając każdej z liczb od 1 do 7 dokładnie raz, tak aby suma liczb w każdym okręgu była taka sama.
POSZUKIWANIE
Ile różnych odpowiedzi potrafisz znaleźć? Skąd wiesz, że znalazłeś je wszystkie?
Komentarz
WYZWANIE I EKSPLORACJA
Pierwsze pytanie w tych zadaniach brzmi: jakie są możliwe sumy w okręgach? Zawęź to, analizując sumę wpisów na dwa sposoby. Niech A, B i C będą trzema wartościami, na których przecinają się dwa okręgi, niech M będzie wartością, na której przecinają się wszystkie trzy okręgi, a Suma niech będzie wspólną sumą w każdym okręgu. Suma trzech okręgów wynosi 3 x Suma. Suma ta jest również sumą liczb od 1 do 7, A + B + C i 2 x M. Zatem 3 x Suma = 28 + A + B + C + 2 x M.
Zanim przejdziemy dalej, zauważmy, że jeśli zaczniemy od dowolnego rozwiązania, możemy uzyskać nowe rozwiązanie, odejmując wszystkie elementy od 8. Spowoduje to zastąpienie sumy przez 32 – suma. Z tego powodu musimy szukać tylko wartości sumy do 16 – pozostałe większe wartości można uzyskać, odejmując te elementy rozwiązania od 8.
Najmniejsza możliwa suma A + B + C + 2 x M to 2 + 3 + 4 + 2 x 1 = 11. Zatem najmniejsza możliwa suma to (28 + 11) / 3 = 13. W związku z tym chcemy sprawdzić, które z wartości sum od 13 do 16 są możliwe. Okazuje się, że wszystkie są możliwe.
Oto jedno rozwiązanie dla każdej wartości sumy zaczynającej się od 13 i kończącej się na 16. Jest ich znacznie więcej
