Iloczyn równa się sumie
WYZWANIE
Załóżmy, że mamy pięć dodatnich liczb całkowitych: A, B, C, D i E, w związku z czym prawdziwe jest następujące twierdzenie. Jaka jest największa możliwa wartość dowolnej z tych liczb?
A x B x C x D x E = A + B + C + D + E
POSZUKIWANIE
Co by się stało, gdyby w tego rodzaju równaniu znalazła się inna liczba liczb?
Komentarz
WYZWANIE
Patrząc na problem, uświadamiasz sobie, że chcesz zyskać przewagę nad faktem, że wraz ze wzrostem liczb suma nie będzie rosła tak szybko, jak iloczyn. Jednym z prostych sposobów jest przekształcenie sumy w iloczyn w następujący sposób.
Załóżmy, że liczby A, B, C, D i E są uporządkowane malejąco, tak że A jest wartością największą (może być porównywana z innymi). Wtedy A + B + C + D + E ≤ 5A. W konsekwencji, A × B × C × D × E = A + B + C + D + E ≤ 5A. Zatem B × C × D × E ≤ 5. Ponieważ są to liczby całkowite, pozostaje nam bardzo niewiele możliwości!
Każdy z nich zostanie wymieniony w kolejności B, C, D, E.
- 5, 1, 1, 1: Wówczas A x 5 x 1 x 1 x 1 = A + 5 + 1 + 1+ 1, więc 5A = A + 8. Oznaczałoby to, że A wynosi 2, co nie może się zdarzyć, ponieważ A ma być wartością największą.
- 4, 1, 1, 1: Wówczas A x 4 x 1 x 1 x 1 = A + 4 + 1 + 1 + 1, więc 4A = A + 7. Oznaczałoby to, że 3A = 7, co jest niemożliwe.
- 3, 1, 1, 1: Wówczas A x 3 x 1 x 1 x 1 = A + 3 + 1 + 1 + 1, więc 3A = A + 6. Oznaczałoby to, że 2A = 6, więc A = 3. Daje to rozwiązanie 3 x 3 x 1 x 1 x 1 = 3 + 3 + 1 + 1 + 1 = 9.
- 2, 1, 1, 1: Wówczas A x 2 x 1 x 1 x 1 = A + 2 + 1 + 1 + 1, więc 2A = A + 5. Oznaczałoby to, że A = 5. Daje to rozwiązanie 5 x 2 x 1 x 1 x 1 = 5 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10.
- 1, 1, 1, 1: Wówczas A x 1 x 1 x 1 x 1 = A + 1 + 1 + 1 + 1, zatem A = A + 4, co jest niemożliwe.
● 2, 2, 1, 1: Wówczas A x 2 x 2 x 1 x 1 = A + 2 + 2 + 1 + 1, więc 4A = A + 6. Oznaczałoby to, że A = 2. Daje to rozwiązanie 2 x 2 x 2 x 1 x 1 = 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 8.
Istnieją zatem trzy rozwiązania: 3, 3, 1, 1, 1; 5, 2, 1, 1, 1; i 2, 2, 2, 1, 1. Największa liczba, jaka pojawia się w każdym z nich to 5.
POSZUKIWANIE
Bardzo podobną analizę można przeprowadzić dla dowolnej liczby liczb. Większe liczby oznaczają więcej do analizy.
Dla liczb 2, 3 i 4 otrzymujemy:
- 2 x 2 = 2 + 2
- 3 x 2 x 1 = 3 + 2 + 1
- 4 x 2 x 1 x 1 = 4 + 2 + 1 + 1
Oprócz tych konkretnych odpowiedzi, po przerobieniu szeregu przykładów „jasne” jest, że gdy istnieje n liczb, największą liczbą będzie zawsze „n” skojarzona z rozwiązaniem nx 2 x 1 x 1 x … x 1 = n + 2 + 1 + 1 + … + 1.