Magiczne kwadraty – 3
W kwadracie magicznym suma wszystkich wierszy, kolumn i przekątnych równa się tej samej liczbie. Ten pierwszy kwadrat nie jest kwadratem magicznym. Drugi to kwadrat magiczny o stałej sumie 12.
WYZWANIE
Użyj każdej z liczb od 0 do 8 jeden raz, aby uzupełnić ten Magiczny Kwadrat.
POSZUKIWANIE
Czy potrafisz znaleźć więcej niż jeden sposób na zrobienie tego? Co łączy te różne sposoby? Jak zmieniłaby się Twoja odpowiedź, gdybyś użył liczb od 1 do 9? A co z liczbami parzystymi od 2 do 18?
Komentarz
WYZWANIE
Pozwól uczniom pobawić się tym. Jeśli będą zwracać uwagę na to, co robią, odkryją interesujące zależności i wiele z tego wyniosą. W przypadku młodych uczniów nie ma absolutnie potrzeby przeprowadzania jakiejkolwiek wnikliwej analizy. Poniżej znajduje się bardziej analityczny sposób znajdowania rozwiązań.
Suma wspólna: Najprostszym sposobem na rozpoczęcie analizy tej zagadki jest znalezienie sumy wspólnej. Każdy wiersz sumuje się do sumy wspólnej. Ponadto, trzy wiersze zawierają liczby od 0 do 8, które sumują się do trzykrotności sumy wspólnej. Zatem trzykrotność sumy wspólnej wynosi 36 (suma od 0 do ), a więc suma wspólna wynosi 12.
Kwadrat centralny: Następnym krokiem jest zsumowanie czterech linii przechodzących przez kwadrat centralny. Wspólna suma to 12, a linie są cztery, więc ich suma musi wynosić 4 x 12 = 48. Alternatywnie, cztery linie zawierają każdą liczbę raz, a kwadrat centralny trzy razy. Suma liczb od 0 do 8 wynosi 36. Zatem 48 równa się 36 plus 3 razy kwadrat centralny. Zatem kwadrat centralny musi wynosić 4.
Dodawanie do 12: Zaskakująco mało jest sposobów na dodawanie do 12. Oto one:
(0 4 8) (1 4 7) (2 4 6) (3 4 5) (0 5 7) (1 3 8) (1 5 6) (2 3 7)
Na tej liście można wiele wywnioskować. Spójrz, jak często dana liczba pojawia się w trójce:
- 4 razy: 4
- 3 razy: 1, 3, 5, 7
- 2 razy: 0, 2, 6, 8
Następnie porównaj to z tym, ile razy kwadrat na diagramie znajduje się w jednej z linii. Zobaczysz, że środkowy kwadrat jest w czterech liniach, narożne kwadraty w trzech liniach, a środek boków w dwóch liniach. To kolejny sposób na potwierdzenie, że środkowy kwadrat musi być równy 4. Ponadto rogi muszą być równe 1, 3, 5 i 7, a środek boków musi być równy 0, 2, 6 i 8.
Wypełnij kwadrat: Najtrudniejsza praca wykonana. Zacznij od 4 na środku i umieść 7 w rogu. Pamiętaj, że 0 musi znaleźć się obok 7 po jednej lub drugiej stronie (w przeciwnym razie 8 będzie musiała znaleźć się obok 7). Po tym nie będziesz mieć wyboru. Jedna z odpowiedzi, w wierszach, to: (7 0 5) (2 4 6) (3 8 1). Zauważ, że to to samo, co każda inna odpowiedź, obracając kwadrat i ewentualnie go odwracając.
POSZUKIWANIE
Jak wspomniano w ostatnim akapicie, wszystkie rozwiązania są w zasadzie takie same – obróć kwadrat tak, aż cyfry 7 znajdą się w tym samym rogu, a następnie wykonaj odbicie lustrzane (w razie potrzeby) wzdłuż przekątnej, aby umieścić 0 w tym samym położeniu.
Rozwiązanie tej łamigłówki dla liczb od 1 do 9 oznaczałoby dodanie 1 do każdego wpisu w rozwiązaniu od 0 do 8. Rozwiązanie tej łamigłówki dla liczb od 2 do 18 oznaczałoby podwojenie wszystkich wpisów w rozwiązaniu od 1 do 9.