Magiczne kwadraty – 4
W kwadracie magicznym suma wszystkich wierszy, kolumn i przekątnych równa się tej samej liczbie. Ten pierwszy kwadrat nie jest kwadratem magicznym. Drugi to kwadrat magiczny o stałej sumie 12.
WYZWANIE
Uzupełnij te dwa kwadraty magiczne, używając następujących dwóch zestawów liczb: 1) {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14} i {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}.
POSZUKIWANIE
Przyjrzyj się wszystkim kwadratom magicznym, które widziałeś i które nie zawierają powtórzeń. Stwórz tabelę wyników i poszukaj wzorców. Gdybyś miał dowolny inny ciąg liczb o równych odstępach, taki jak {4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44}, czy byłbyś w stanie od razu wypełnić kwadrat magiczny?
Komentarz
WYZWANIE I EKSPLORACJA
Zacznij od rozwiązania standardowej wersji tej łamigłówki od 1 do 9.
Aby utworzyć kwadrat magiczny z liczbami od 6 do 14, wystarczy dodać 5 do wszystkich tych elementów. Aby utworzyć kwadrat magiczny dla liczb {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}, wystarczy potroić wszystkie elementy oryginalnego rozwiązania.
Zobaczmy, dlaczego to działa. Załóżmy, że mamy a + b + c = S, gdzie S to suma użyta dla wszystkich wierszy, kolumn i przekątnych. W oryginalnej łamigłówce 1 – 9, S wynosiło 15.
Jeśli dodamy 5 do wszystkich wpisów, (a + 5) + (b + 5) + (c + 5) = (a + b + c) + 15 = S + 15. Wszystkie wpisy w nowej układance sumują się do sumy o 15 większej od oryginalnej, więc nadal wszystkie sumują się do tej samej (nowej) wartości.
Jeśli pomnożymy przez 3, to (3a) + (3b) + (3c) = 3(a + b + c) = 3S. Suma wpisów w nowej łamigłówce jest trzykrotnie większa od sumy oryginalnej.
Jeśli wykonamy dowolną kombinację mnożenia i dodawania, nadal będzie działać. Załóżmy, że mnożymy przez m, a następnie dodajemy n. Otrzymujemy (ma + n) + (mb + n) + (mc + n) = (ma + mb + mc) + (n + n + n) = m (a + b + c) + 3n = mS + 3n. Zatem niezależnie od wartości m i n, wszystkie nowe wyrażenia sumują się do tej samej wartości!
Oczywiście Twoi uczniowie nie są gotowi na tę algebrę, ale przeglądając te przykłady zobaczą wzorce, jak to działa